Введение
Курс, предназначенный для подготовки студентов к математическому анализу. В математическом образовании прекалькулус – это курс или совокупность курсов, включающая алгебру и тригонометрию на уровне, необходимом для изучения математического анализа, что и отражено в названии. В школах алгебра и тригонометрия часто преподаются как отдельные разделы курса.
In mathematics education, precalculus is a course, or a set of courses, that includes algebra and trigonometry at a level which is designed to prepare students for the study of calculus, thus the name precalculus. Schools often distinguish between algebra and trigonometry as two separate parts of the coursework.
Концепция
Чтобы студенты успешно осваивали нахождение производных и первообразных в математическом анализе, им необходимо владеть алгебраическими выражениями, особенно в части их модификации и преобразования. Леонард Эйлер написал первую книгу по прекалькулю в 1748 году под названием Introductio in analysin infinitorum (лат. Введение в анализ бесконечно малых), которая "предназначалась как обзор концепций и методов анализа и аналитической геометрии, предшествующих изучению дифференциального и интегрального исчисления". Он начал с фундаментальных понятий переменных и функций. Его новаторство отмечено использованием возведения в степень для введения трансцендентных функций. Общий логарифм, с произвольным положительным основанием, Эйлер представляет как обратную к экспоненциальной функции. Затем натуральный логарифм получается, принимая в качестве основания "число, для которого гиперболический логарифм равен единице", иногда называемое числом Эйлера, и обозначаемое как . Это присвоение значимого числа из работы Грегуара де Сен-Венсана достаточно для определения натурального логарифма. Эта часть прекалькуля подготавливает студента к интегрированию монома в случае, когда современный учебник по прекалькулю вычисляет как предел. Мотивацией для этого предела может служить рассмотрение сложных процентов в финансовой математике. Другое отличие современного учебника – избегание комплексных чисел, за исключением случаев, когда они возникают как корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом или в формуле Эйлера как применение тригонометрии. Эйлер использовал не только комплексные числа, но и бесконечные ряды в своем прекалькуле. Современный курс может охватывать арифметические и геометрические прогрессии и ряды, но не применение Сен-Венсаном для получения его гиперболического логарифма, которое Эйлер использовал для совершенствования своего прекалькуля.
Today's precalculus text computes as the limit An exposition on compound interest in financial mathematics may motivate this limit. Another difference in the modern text is avoidance of complex numbers, except as they may arise as roots of a quadratic equation with a negative discriminant, or in Euler's formula as application of trigonometry. Euler used not only complex numbers but also infinite series in his precalculus. Today's course may cover arithmetic and geometric sequences and series, but not the application by Saint Vincent to gain his hyperbolic logarithm, which Euler used to finesse his precalculus.
Изменное содержание
Прекалькулус подготавливает студентов к высшей математике несколько иначе, чем преалгебра – к алгебре. Если преалгебра часто подробно изучает базовые алгебраические понятия, то в курсах прекалькуля может рассматриваться лишь небольшое количество концепций высшей математики, а иногда и вовсе их не затрагивается. Вместо этого, прекалькулус часто включает алгебраические темы, которым могло не уделяться достаточного внимания на более ранних курсах алгебры. Содержание разных курсов прекалькуля может отличаться. Например, углубленный курс может уделять больше времени коническим сечениям, евклидовым векторам и другим темам, необходимым для высшей математики и используемым в таких областях, как медицина или инженерия. Подготовительный или стандартный курс может быть сосредоточен на темах, применяемых в профессиях, связанных с бизнесом, например, на матрицах или степенных функциях. Стандартный курс изучает функции, композицию функций и обратные функции, часто в связи с множествами и действительными числами. Особое внимание уделяется многочленам и рациональным функциям. Алгебраические навыки применяются к тригонометрическим функциям и тригонометрическим тождествам. Бином Ньютона, полярные координаты, параметрические уравнения и пределы последовательностей и рядов – также распространенные темы прекалькуля. Иногда может демонстрироваться метод математической индукции для доказательства утверждений, зависящих от натурального числа, но в основном учебный процесс состоит из решения задач, а не из изучения теории.