Введение

В геометрии пятиугольный гексеконтаэдр — это многогранник Каталана, двойственный усечённому додекаэдру. Он имеет две различные формы, являющиеся зеркальными отражениями (или "энантиоморфами") друг друга. Он имеет 92 вершины, образующие 60 пятиугольных граней. Это многогранник Каталана с наибольшим количеством вершин. Среди многогранников Каталана и Архимеда он имеет второе по величине число вершин после усечённого икосидодекаэдра, который имеет 120 вершин.

Строительство

Пятиугольный гексеконтаэдр можно построить из снуб-додекаэдра, не вычисляя его двойственный многогранник. К 12 пятиугольным граням снуб-додекаэдра добавляются пятиугольные пирамиды, а к 20 треугольным граням, не имеющим общего ребра с пятиугольником, – треугольные пирамиды. Высота пирамид подбирается таким образом, чтобы они лежали в одной плоскости с остальными 60 треугольными гранями снуб-додекаэдра. В результате получается пятиугольный гексеконтаэдр. Альтернативный метод построения использует кватернионы и икосаэдрическую симметрию орбит группы Вейля порядка 60. Это показано на рисунке справа. В частности, используя кватернионы из бинарной икосаэдрической группы, где – сопряжённый к , а и , то, подобно тому, как группа Коксетера является группой симметрии 600-ячейника и 120-ячейника порядка 14400, мы имеем группу порядка 120. определяется как чётные перестановки таких, что дают 60 координат искажённого хирального снуб-додекаэдра, где – одна перестановка из первого набора из 12, перечисленных выше. Точные координаты для получаются путём решения уравнения , при , и применения полученного решения к нормализации .

Связанные полиэдра и плитки

Этот многогранник топологически связан с последовательностью многогранников и мощений пентагонами с конфигурациями граней (V3.3.3.3. n). (Последовательность переходит в мощения гиперболической плоскости для любого n.) Эти лицево-транзитивные фигуры обладают (n32)-кратной вращательной симметрией.