Введение

В математике каноническим пучком несингулярного алгебраического многообразия размерности *n* над полем является линейный пучок , который является *n*-й внешней степенью котангентного пучка на . Над комплексными числами он является детерминантным пучком голоморфного котангентного пучка. Эквивалентно, это линейный пучок голоморфных *n*-форм на . Это дуализирующий объект для дуальности Серра на . Он также может рассматриваться как обратимый пучок. Канонический класс — это класс делителя Картье на , определяющий канонический пучок — это класс эквивалентности по линейной эквивалентности на , и любой делитель в этом классе может называться каноническим делителем. Антиканоническим делителем является любой делитель − , где канонический. Антиканонический пучок — это соответствующий обратный пучок. Когда антиканонический пучок является ample, многообразие называется многообразием Фано.

Одиночный случай

На единственном многообразии существует несколько способов определить канонический делитель. Если многообразие нормальное, то оно гладкое в коразмерности один. В частности, можно определить канонический делитель на гладкой части. Это дает нам единственный класс делителя Вейля на . Этот класс, обозначаемый , называется каноническим делителем на .

В качестве альтернативы, снова на нормальном многообразии, можно рассмотреть , -ую когомологию нормализованного дуализирующего комплекса . Этот пучок соответствует классу делителя Вейля, который равен классу делителя, определенному выше. В отсутствие предположения о нормальности тот же результат справедлив, если является S2 и горенштейновым в одном измерении.

Канонические карты

Если канонический класс эффективен, то он определяет рациональное отображение из V в проективное пространство. Это отображение называется каноническим отображением. Рациональное отображение, определяемое n-кратным канонического класса, является n-каноническим отображением. n-каноническое отображение отображает V в проективное пространство размерности на единицу меньшей, чем размерность пространства глобальных сечений n-кратного канонического класса. n-канонические отображения могут иметь базовые точки, то есть не определены всюду (например, они могут не быть морфизмом многообразий). Они могут иметь волокна положительной размерности, и даже если их волокна нулевой размерности, они не обязательно являются локальными аналитическими изоморфизмами.

Канонические кривые

Наиболее изученный случай — это случай кривых. Здесь канонический пучок совпадает с (голоморфным) котангентным пучком. Следовательно, глобальный сечение канонического пучка эквивалентно повсеместно регулярной дифференциальной форме. Классически такие формы назывались дифференциалами первого рода. Степень канонического класса для кривой рода g равна 2g − 2.

Нижний род

Предположим, что C — гладкая алгебраическая кривая рода g. Если g равен нулю, то C изоморфна P¹, а канонический класс — класс −2P, где P — любая точка C. Это следует из формулы дифференцирования d(1/t) = −dt/t², например, из рассмотрения мероморфного дифференциала с двойным полюсом в начале координат на сфере Римана. В частности, KC и его кратные не являются эффективными. Если g равен единице, то C — эллиптическая кривая, а KC — тривиальный пучок. Глобальные сечения тривиального пучка образуют одномерное векторное пространство, поэтому n-кратная каноническая карта для любого n является отображением в точку.

Общее положение

В противном случае, для негиперэллиптической кривой C, что означает, что g не меньше 3, морфизм является изоморфизмом C с его образом, который имеет степень 2g − 2. Таким образом, для g = 3 канонические кривые (негиперэллиптический случай) являются квартичными плоскими кривыми. Все несингулярные квартики на плоскости возникают таким образом. Существует точная информация для случая g = 4, когда каноническая кривая является пересечением квадратичной и кубической поверхностей; и для g = 5, когда это пересечение трех квадратичных поверхностей. Более детальная информация доступна для больших значений g, но в этих случаях канонические кривые обычно не являются полными пересечениями, и описание требует более глубокого рассмотрения коммутативной алгебры. Эта область началась с теоремы Макса Нётера: размер пространства квадратик, проходящих через C, рассматриваемую как вложенная каноническая кривая, равен (g − 2)(g − 3)/2. Теорема Петри, часто упоминаемая под этим названием и опубликованная в 1923 году Карлом Петри (1881–1955), утверждает, что для g не меньше 4 однородный идеал, определяющий каноническую кривую, порождается своими элементами степени 2, за исключением случаев (a) тригональных кривых и (b) несингулярных квинтик на плоскости, когда g = 6. В исключительных случаях идеал порождается элементами 2-й и 3-й степени. Исторически этот результат был в значительной степени известен еще до Петри и назывался теоремой Бэббеджа — Чизини — Энрикеса (в честь Денниса Бэббеджа, завершившего доказательство, Оскара Чизини и Федериго Энрикеса). Терминология неоднозначна, поскольку результат также называют теоремой Нётера — Энрикеса. Вне гиперэллиптических случаев Нётер доказал, что (современным языком) канонический пучок нормально порожден: симметрические степени пространства сечений канонического пучка отображаются на сечения его тензорных степеней. Это, например, влечет за собой порождение квадратичных дифференциалов на таких кривых дифференциалами первого рода; и это имеет последствия для локальной теоремы Торелли. Работа Петри фактически предоставила явные квадратичные и кубические образующие идеала, показав, что, за исключением исключений, кубики можно выразить через квадратики. В исключительных случаях пересечение квадратик, проходящих через каноническую кривую, соответственно является линейчатой поверхностью и поверхностью Веронезе. Эти классические результаты были доказаны для комплексных чисел, но современные исследования показывают, что эти методы работают для полей любой характеристики.