Введение

Аналог простого числа в коммутативном кольце
В математике, в частности в абстрактной алгебре, простым элементом коммутативного кольца является объект, удовлетворяющий определенным свойствам, схожим со свойствами простых чисел в кольце целых чисел и неприводимых многочленов. Необходимо четко различать простые элементы и неприводимые элементы, поскольку эти понятия совпадают в областях главных идеалов, но различаются в общем случае.

Определение

Элемент p коммутативного кольца R называется простым, если он не является нулевым элементом или обратимым элементом, и всякий раз, когда p делит произведение ab для некоторых a и b из R, то p делит a или p делит b. При этом определении, лемма Евклида утверждает, что простые числа являются простыми элементами в кольце целых чисел. Эквивалентно, элемент p является простым тогда и только тогда, когда главный идеал (p), порожденный p, является ненулевым простым идеалом. (Следует отметить, что в целостном домене идеал (0) является простым идеалом, но 0 является исключением в определении "простого элемента"). Интерес к простым элементам обусловлен основной теоремой арифметики, которая утверждает, что каждое ненулевое целое число может быть представлено, по существу, единственным образом в виде 1 или −1, умноженного на произведение положительных простых чисел. Это привело к изучению областей однозначной факторизации, которые обобщают то, что было продемонстрировано на примере целых чисел. Является ли элемент простым, зависит от того, в каком кольце он рассматривается; например, 2 является простым элементом в Z, но не является таковым в Z[i], кольце гауссовых целых чисел, поскольку 2 = (1 + i)(1 − i) и 2 не делит ни один из множителей в правой части.

Связь с первородными идеалами

Идеал I в кольце R (с единицей) называется простым, если факторкольцо R/I является областью целостности. В области целостности, ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он порожден простым элементом.

Нередуцируемые элементы

Нельзя путать простые элементы с неразложимыми элементами. В целостном домене каждый простой элемент является неразложимым, но обратное не всегда верно. Однако в областях однозначной факторизации, или, в более общем случае, в областях главных идеалов, простые и неразложимые элементы совпадают.