Введение
Алгебраическая структура
В математике коммутативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения коммутативна. Изучение коммутативных колец называется коммутативной алгеброй. Соответственно, некомутативная алгебра изучает свойства колец, которые не характерны исключительно для коммутативных колец. Это различие обусловлено большим количеством фундаментальных свойств коммутативных колец, которые не переносятся на некомутативные кольца.
In mathematics, a commutative ring is a ring in which the multiplication operation is commutative. The study of commutative rings is called commutative algebra. Complementarily, noncommutative algebra is the study of ring properties that are not specific to commutative rings. This distinction results from the high number of fundamental properties of commutative rings that do not extend to noncommutative rings.
Определение
Кольцо — это множество, снабжённое двумя бинарными операциями, то есть операциями, объединяющими любые два элемента кольца в третий элемент. Эти операции называются сложением и умножением и обычно обозначаются "+" и "·". Например, a + b и a · b. Чтобы образовать кольцо, эти две операции должны удовлетворять ряду свойств: кольцо должно являться абелевой группой относительно сложения, а также моноидом относительно умножения, причём умножение должно быть дистрибутивным относительно сложения; то есть, элементы, нейтральные для сложения и умножения, обозначаются соответственно "0" и "1". Если умножение коммутативно, то есть a · b = b · a, то кольцо называется коммутативным. В остальной части этой статьи все кольца будут коммутативными, если не будет указано обратное.
then the ring is called commutative. In the remainder of this article, all rings will be commutative, unless explicitly stated otherwise.
Первые примеры
Важным примером, и в некотором смысле ключевым, является кольцо целых чисел с двумя операциями – сложением и умножением. Поскольку умножение целых чисел является коммутативной операцией, это коммутативное кольцо. Обычно оно обозначается как сокращение от немецкого слова Zahlen (числа). Поле – это коммутативное кольцо, в котором и каждый ненулевой элемент обратим, то есть имеет мультипликативный обратный элемент такой, что . Следовательно, по определению, любое поле является коммутативным кольцом. Рациональные, действительные и комплексные числа образуют поля. Если R – заданное коммутативное кольцо, то множество всех многочленов от переменной x с коэффициентами из R образует полиномиальное кольцо, обозначаемое R[x]. То же самое верно и для нескольких переменных. Если X – некоторое топологическое пространство, например, подмножество некоторого ℝ или ℂ, то непрерывные функции на X, принимающие вещественные или комплексные значения, образуют коммутативное кольцо. То же справедливо для дифференцируемых или голоморфных функций, когда эти понятия определены, например, для комплексного многообразия.
Делительность
В отличие от полей, где каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, понятие делимости для колец более развито. Элемент кольца называется единицей, если он обладает мультипликативным обратным. Другим особым типом элементов являются нулевые делители, то есть элемент, для которого существует ненулевой элемент кольца, такой что их произведение равно нулю. Если кольцо не содержит ненулевых делителей, оно называется областью целостности (или просто областью). Элемент, удовлетворяющий уравнению для некоторого положительного целого числа , называется нильпотентным.
Идеалы и модули
Многие из следующих понятий также существуют для некоммутативных колец, но определения и свойства в этом случае обычно более сложные. Например, все идеалы в коммутативном кольце автоматически являются двусторонними, что существенно упрощает ситуацию.
Модули
Для кольца модуль аналогичен векторному пространству для поля. То есть, элементы модуля можно складывать, и их можно умножать на элементы кольца, при этом выполняются те же аксиомы, что и для векторного пространства. Изучение модулей значительно сложнее, чем изучение векторных пространств, поскольку существуют модули, не имеющие базиса, то есть не содержащие охватывающего множества, элементы которого линейно независимы. Модуль, имеющий базис, называется свободным модулем, и подмодуль свободного модуля не обязательно является свободным. Модуль конечного типа – это модуль, имеющий конечное порождающее множество. Модули конечного типа играют фундаментальную роль в теории коммутативных колец, подобно роли конечномерных векторных пространств в линейной алгебре. В частности, ноэтеровы кольца (см. также ниже) можно определить как кольца, для которых каждый подмодуль модуля конечного типа также является модулем конечного типа.
Идеалы
Идеалы кольца — это подмодули , то есть модули, содержащиеся в . Более точно, идеал — это непустое подмножество такого, что для всех из и из , и также из . Для различных приложений понимание идеалов кольца имеет особое значение, но часто начинают с изучения модулей в целом. Любое кольцо имеет два идеала, а именно нулевой идеал и , само кольцо. Эти два идеала являются единственными тогда и только тогда, когда является полем. Для любого подмножества (где — некоторое множество индексов), идеал, порожденный , — это наименьший идеал, содержащий . Эквивалентно, он задается конечными линейными комбинациями.
Основные идеальные области
Если идеал состоит из одного элемента, то идеал, порожденный этим элементом, состоит из кратных ему, то есть элементов вида для произвольных элементов. Такой идеал называется главным идеалом. Если каждый идеал является главным идеалом, то кольцо называется главным идеальным кольцом; два важных примера – и , полиномиальное кольцо над полем. Оба эти кольца являются областями целостности, поэтому они называются главными идеальными областями. В отличие от общих колец, для главной идеальной области свойства отдельных элементов тесно связаны со свойствами кольца в целом. Например, любая главная идеальная область является областью однозначной факторизации (UFD), что означает, что любой элемент может быть представлен в виде произведения неприводимых элементов единственным образом (с точностью до перестановки множителей). Здесь элемент в области целостности называется неприводимым, если единственный способ представить его в виде произведения
– это либо , либо один из множителей является единицей. Примером, важным в теории полей, являются неприводимые многочлены, то есть неприводимые элементы в , где – поле. Тот факт, что является UFD, можно сформулировать более элементарно, сказав, что любое натуральное число может быть однозначно разложено в произведение степеней простых чисел. Это также известно как основная теорема арифметики. Элемент называется простым элементом, если всякий раз, когда делит произведение , то делит или . В области целостности, быть простым влечет за собой быть неприводимым. Обратное утверждение верно в области однозначной факторизации, но неверно в общем случае.
Спектр
Спектр кольца , обозначаемый , представляет собой множество всех простых идеалов . Он наделён топологией Зариски, которая отражает алгебраические свойства : основание открытых подмножеств задаётся выражением , где – любой элемент кольца. Интерпретируя как функцию, принимающую значение f по модулю p (то есть образ f в поле вычетов R/p), это подмножество является множеством точек, где f не равно нулю. Спектр также точно отражает интуицию о том, что локализация и факторкольца являются взаимодополняющими: естественные отображения R → Rf и R → R / fR, после наделения спектров рассматриваемых колец топологией Зариски, соответствуют, соответственно, взаимодополняющим открытым и замкнутым погружениям. Даже для базовых колец, таких как 1=R=Z, показанное справа, топология Зариски существенно отличается от топологии множества вещественных чисел. Спектр содержит множество максимальных идеалов, которое иногда обозначается mSpec (R). Для алгебраически замкнутого поля k, mSpec (k[T1, , Tn] / (f1, , fm)) находится в биективном соответствии с множеством 1= {x =(x1, , xn) ∈ kn | f1(x) = = fm(x) = 0}. Таким образом, максимальные идеалы отражают геометрические свойства множеств решений полиномов, что является исходной мотивацией для изучения коммутативных колец. Однако рассмотрение не максимальных идеалов как части геометрических свойств кольца полезно по нескольким причинам. Например, минимальные простые идеалы (то есть те, которые не содержат строго меньших) соответствуют необратимым компонентам Spec R. Для нётерова кольца R, Spec R имеет лишь конечное число необратимых компонент. Это геометрическая переформулировка первичного разложения, согласно которому любой идеал можно разложить как произведение конечного числа первичных идеалов. Этот факт является окончательным обобщением разложения на простые идеалы в кольцах Дедекинда.
where is any ring element. Interpreting as a function that takes the value f mod p (i. e., the image of f in the residue field R/p), this subset is the locus where f is non zero. The spectrum also makes precise the intuition that localisation and factor rings are complementary: the natural maps R → Rf and R → R / fR correspond, after endowing the spectra of the rings in question with their Zariski topology, to complementary open and closed immersions respectively. Even for basic rings, such as illustrated for 1=R = Z at the right, the Zariski topology is quite different from the one on the set of real numbers. The spectrum contains the set of maximal ideals, which is occasionally denoted mSpec (R). For an algebraically closed field k, mSpec (k[T1, , Tn] / (f1, , fm)) is in bijection with the set
1= {x =(x1, , xn) ∊ kn | f1(x) = = fm(x) = 0.} Thus, maximal ideals reflect the geometric properties of solution sets of polynomials, which is an initial motivation for the study of commutative rings. However, the consideration of non maximal ideals as part of the geometric properties of a ring is useful for several reasons. For example, the minimal prime ideals (i. e., the ones not strictly containing smaller ones) correspond to the irreducible components of Spec R. For a Noetherian ring R, Spec R has only finitely many irreducible components. This is a geometric restatement of primary decomposition, according to which any ideal can be decomposed as a product of finitely many primary ideals. This fact is the ultimate generalization of the decomposition into prime ideals in Dedekind rings.
Сродственные схемы
Понятие спектра является общей основой коммутативной алгебры и алгебраической геометрии. Алгебраическая геометрия развивается, наделяя Spec R пучком (объектом, собирающим функции, определенные локально, то есть на различных открытых подмножествах). Пара, состоящая из пространства и пучка, называется аффинной схемой. Для заданной аффинной схемы, базовое кольцо R может быть восстановлено как глобальные сечения пучка. Более того, это взаимно однозначное соответствие между кольцами и аффинными схемами также согласуется с гомоморфизмами колец: любой f: R → S порождает непрерывное отображение в противоположном направлении Spec S → Spec R, q ↦ f⁻¹(q), то есть любой простой идеал S отображается в его прообраз под действием f, который является простым идеалом R. Получившаяся эквивалентность двух упомянутых категорий адекватно отражает алгебраические свойства колец в геометрической форме. Подобно тому, как многообразия локально задаются открытыми подмножествами Rn, аффинные схемы являются локальными моделями для схем, которые являются объектом изучения в алгебраической геометрии. Следовательно, многие понятия, касающиеся коммутативных колец, проистекают из геометрической интуиции.
1= Spec S → Spec R, q ↦ f−1(q), i. e. any prime ideal of S is mapped to its preimage under f, which is a prime ideal of R.
The resulting equivalence of the two said categories aptly reflects algebraic properties of rings in a geometrical manner. Similar to the fact that manifolds are locally given by open subsets of Rn, affine schemes are local models for schemes, which are the object of study in algebraic geometry. Therefore, several notions concerning commutative rings stem from geometric intuition.
Конечная генерация
R-алгебра S называется конечно порождённой (как алгебра), если существует конечное число элементов s₁, …, sₙ, таких что любой элемент из S может быть представлен в виде многочлена от s₁, …, sₙ. Эквивалентно, S изоморфен R[T₁, …, Tₙ] / I. Гораздо более сильным условием является конечность порождающего множества S как R-модуля, что означает, что любой элемент из S может быть выражен как R-линейная комбинация некоторого конечного множества s₁, …, sₙ.
1= R[T1, , Tn] / I. A much stronger condition is that S is finitely generated as an R module, which means that any s can be expressed as a R linear combination of some finite set s1, , sn.
Конструирование коммутативных колец
Есть несколько способов построения новых колец из заданных. Целью таких построений часто является улучшение определенных свойств кольца, чтобы сделать его более удобным для изучения. Например, интегральная область, которая является интегрально замкнутой в своем поле частных, называется нормальной. Это желаемое свойство, поскольку любое нормальное одномерное кольцо обязательно является регулярным. Процесс приведения кольца к нормальному виду называется нормализацией.
Завершения
Если I – идеал в коммутативном кольце R, то степени I образуют топологические окрестности 0, позволяющие рассматривать R как топологическое кольцо. Эта топология называется I-адической топологией. Кольцо R можно дополнить относительно этой топологии. Формально, I-адическое дополнение – это обратный предел колец R/Iⁿ. Например, если k – поле, то k[[X]], формальное кольцо степенных рядов от одной переменной над k, является I-адическим дополнением k[X], где I – главный идеал, порожденный X. Это кольцо служит алгебраическим аналогом диска. Аналогично, кольцо p-адических целых чисел является дополнением Z относительно главного идеала (p). Любое кольцо, изоморфное своему дополнению, называется полным. Полные локальные кольца удовлетворяют лемме Хенселя, которая, грубо говоря, позволяет расширять решения (различных задач) из поля вычетов k на R.
Гомологические понятия
Несколько более глубоких аспектов коммутативных колец были изучены с использованием методов гомологической алгебры. В ней приводятся некоторые нерешенные вопросы в этой активно развивающейся области.
Свойства
Согласно теореме Уэддерберна, каждое конечное кольцо с делением коммутативно и, следовательно, является конечным полем. Другое условие, обеспечивающее коммутативность кольца, установленное Якобсоном, заключается в следующем: для каждого элемента r кольца R существует целое число n > 1 такое, что 1 = rⁿ = r. Если 1 = r² = r для каждого r, то кольцо называется булевым кольцом. Также известны более общие условия, гарантирующие коммутативность кольца.
Простейшие коммутативные кольца
Опростительное коммутативное кольцо — это упрощённый объект в категории коммутативных колец. Они служат строительными блоками для (связной) производной алгебраической геометрии. Тесно связанным, но более общим понятием является E∞-кольцо.