Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Спираль с постоянным расстоянием до себя.
Spiral with constant distance from itself
Архимедова спираль (также известная как арифметическая спираль) — это спираль, названная в честь греческого математика Архимеда, жившего в III веке до нашей эры. Она представляет собой геометрическое место точек, описываемое точкой, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью по прямой, вращающейся с постоянной угловой скоростью. Эквивалентно, в полярных координатах (r, θ) она может быть описана уравнением
The Archimedean spiral (also known as the arithmetic spiral) is a spiral named after the 3rd century BC Greek mathematician Archimedes. It is the locus corresponding to the locations over time of a point moving away from a fixed point with a constant speed along a line that rotates with constant angular velocity. Equivalently, in polar coordinates (r, θ) it can be described by the equation
где b — действительное число. Изменение параметра b регулирует расстояние между витками. Из вышеприведенного уравнения следует, что положение точки относительно начальной точки пропорционально углу θ с течением времени. Архимед описал такую спираль в своей книге «О спиралях». Конон Самосский был его другом, и Папп утверждает, что спираль была открыта Кононом.
with real number b. Changing the parameter b controls the distance between loops. From the above equation, it can thus be stated: position of particle from point of start is proportional to angle θ as time elapses. Archimedes described such a spiral in his book On Spirals. Conon of Samos was a friend of his and Pappus states that this spiral was discovered by Conon.
Характеристики
Архимедова спираль обладает свойством, что любой луч, исходящий из начала координат, пересекает последовательные витки спирали в точках с постоянным расстоянием между ними (равным 2π, если θ измеряется в радианах), отсюда и название "арифметическая спираль". В отличие от этого, в логарифмической спирали эти расстояния, а также расстояния точек пересечения, измеренные от начала координат, образуют геометрическую прогрессию. Архимедова спираль имеет две ветви, одна для θ > 0 и одна для θ < 0. Обе ветви плавно соединены в начале координат. На прилагаемом графике показана только одна ветвь. Зеркальное отражение этой ветви относительно оси y даст другую ветвь. При больших значениях θ точка движется с приблизительно постоянным ускорением вдоль спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует траектории точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью по прямой, вращающейся с постоянной угловой скоростью (см. замечание Михаила Гайченкова). По мере увеличения Архимедовой спирали её эволюта асимптотически приближается к окружности с радиусом.
The Archimedean spiral has the property that any ray from the origin intersects successive turnings of the spiral in points with a constant separation distance (equal to 2[[Pi if θ is measured in radians), hence the name "arithmetic spiral". In contrast to this, in a logarithmic spiral these distances, as well as the distances of the intersection points measured from the origin, form a geometric progression. The Archimedean spiral has two arms, one for θ > 0 and one for θ < 0. The two arms are smoothly connected at the origin. Only one arm is shown on the accompanying graph. Taking the mirror image of this arm across the y axis will yield the other arm. For large θ a point moves with well approximated uniform acceleration along the Archimedean spiral while the spiral corresponds to the locations over time of a point moving away from a fixed point with a constant speed along a line which rotates with constant angular velocity (see contribution from Mikhail Gaichenkov). As the Archimedean spiral grows, its evolute asymptotically approaches a circle with radius .
Приложения
Один из методов квадратуры круга, предложенный Архимедом, использует архимедову спираль. Архимед также показал, как эту спираль можно использовать для трисекции угла. Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. Архимедова спираль имеет множество практических применений. Спиральные компрессоры, используемые для сжатия газов, могут иметь роторы, изготовленные из двух переплетённых архимедовых спиралей, инволют круга одного и того же размера, которые почти неотличимы от архимедовых спиралей, или гибридных кривых. Архимедовы спирали применяются в спиральных антеннах, способных работать в широком диапазоне частот. Спирали часовых балансиров и канавки самых ранних грампластинок имеют форму архимедовых спиралей, обеспечивая равномерное расстояние между канавками (хотя позднее для увеличения количества музыки, помещаемой на пластинку, было введено переменное расстояние между треками). Предложение пациенту нарисовать архимедову спираль – это способ количественной оценки тремора человека, что помогает в диагностике неврологических заболеваний. Архимедовы спирали также используются в системах цифровой обработки света (DLP) для минимизации "эффекта радуги", создавая иллюзию одновременного отображения нескольких цветов, хотя на самом деле красный, зелёный и синий цвета циклически сменяют друг друга с высокой скоростью. Кроме того, архимедовы спирали применяются в пищевой микробиологии для количественного определения концентрации бактерий на спиральных чашках Петри. Они также используются для моделирования узора, образующегося при наматывании рулона бумаги или ленты постоянной толщины на цилиндр. Многие динамические спирали (например, спираль Паркера солнечного ветра или узор, создаваемый бенгальским огнём) являются архимедовыми. Например, звезда LL Pegasi демонстрирует приблизительную архимедову спираль в окружающих её пылевых облаках, которые, как считается, представляют собой вещество, выброшенное звездой и сформированное в спираль под воздействием звезды-компаньона в двойной звёздной системе.
One method of squaring the circle, due to Archimedes, makes use of an Archimedean spiral. Archimedes also showed how the spiral can be used to trisect an angle. Both approaches relax the traditional limitations on the use of straightedge and compass in ancient Greek geometric proofs. The Archimedean spiral has a variety of real world applications. Scroll compressors, used for compressing gases, have rotors that can be made from two interleaved Archimedean spirals, involutes of a circle of the same size that almost resemble Archimedean spirals, or hybrid curves. Archimedean spirals can be found in spiral antenna, which can be operated over a wide range of frequencies. The coils of watch balance springs and the grooves of very early gramophone records form Archimedean spirals, making the grooves evenly spaced (although variable track spacing was later introduced to maximize the amount of music that could be cut onto a record). Asking for a patient to draw an Archimedean spiral is a way of quantifying human tremor; this information helps in diagnosing neurological diseases. Archimedean spirals are also used in digital light processing (DLP) projection systems to minimize the "rainbow effect", making it look as if multiple colors are displayed at the same time, when in reality red, green, and blue are being cycled extremely quickly. Additionally, Archimedean spirals are used in food microbiology to quantify bacterial concentration through a spiral platter. They are also used to model the pattern that occurs in a roll of paper or tape of constant thickness wrapped around a cylinder. Many dynamic spirals (such as the Parker spiral of the solar wind, or the pattern made by a Catherine's wheel) are Archimedean. For instance, the star LL Pegasi shows an approximate Archimedean spiral in the dust clouds surrounding it, thought to be ejected matter from the star that has been shepherded into a spiral by another companion star as part of a double star system.