Введение

Проблема площади пересекающихся кругов

Проблема миссис Минивер — это геометрическая задача, касающаяся площади кругов. Она заключается в том, чтобы разместить два круга радиусов *r₁* и *r₂* таким образом, чтобы площадь линзы, образованной пересечением их внутренних частей, была равна симметричной разности кругов *r₁* и *r₂* (площади, содержащейся в одном, но не в обоих кругах). Задача получила своё название по аналогии между геометрией и социальной динамикой, высказанной вымышленным персонажем миссис Минивер, которая "видела в любых отношениях пару пересекающихся кругов". Её решение требует использования трансцендентного уравнения.

Происхождение

Проблема берет начало в "Посещении загородного дома" – одной из газетных статей Яна Струтера, публиковавшихся в лондонской "Таймс" между 1937 и 1939 годами, в которой впервые появилась ее героиня миссис Минивер. Согласно рассказу, она представляла любые отношения как пару пересекающихся кругов. Кажется, что чем больше площадь их пересечения, тем лучше отношения, но это не так. После определенной точки начинает действовать закон убывающей отдачи, и у каждой из сторон не остается достаточных личных ресурсов для обогащения совместной жизни. Вероятно, совершенство достигается, когда сумма площадей двух внешних сегментов равна площади центральной линзы. На бумаге, должно быть, существует точная математическая формула для определения этого соотношения, но в жизни – нет. Луис А. Грэм и Клифтон Фадиман формализовали математическую модель этой проблемы и популяризировали ее среди любителей математики.

Решение

Проблему можно решить, разрезав луну вдоль отрезка линии между двумя точками пересечения окружностей на два круговых сегмента и используя формулу площади кругового сегмента, чтобы связать расстояние между точками пересечения с общей площадью, которую луна должна иметь согласно условию задачи. Это приводит к трансцендентному уравнению для расстояния между точками пересечения, но его можно решить численно. Существует два граничных условия, для которых расстояния между центрами можно легко определить: наибольшее расстояние между центрами достигается, когда окружности имеют равные радиусы, а наименьшее – когда одна окружность полностью содержится в другой, что происходит при отношении радиусов, равном . Если отношение радиусов выходит за пределы этих предельных случаев, окружности не могут удовлетворить ограничению по площади, заданному в задаче. В случае двух окружностей одинакового размера эти уравнения можно несколько упростить. Ромб, образованный двумя центрами окружностей и двумя точками пересечения, со сторонами, равными радиусу, имеет угол в радианах в центрах окружностей, который находится из уравнения , из которого следует, что отношение расстояния между их центрами к их радиусу равно .