Введение

Группа изотопных классов группы топологических автоморфизмов. В математике, в области геометрической топологии, группа классов отображений является важным алгебраическим инвариантом топологического пространства. Вкратце, группа классов отображений – это определенная дискретная группа, соответствующая симметриям пространства.

Мотивация

Рассмотрим топологическое пространство, то есть пространство с некоторым понятием близости между точками в этом пространстве. Мы можем рассмотреть множество гомеоморфизмов из пространства в само себя, то есть непрерывные отображения с непрерывными обратными отображениями: функции, которые непрерывно растягивают и деформируют пространство, не разрывая и не склеивая его. Это множество гомеоморфизмов можно рассматривать как пространство само по себе. Оно образует группу относительно композиции функций. Мы также можем определить топологию на этом новом пространстве гомеоморфизмов. Открытые множества этого нового пространства функций будут состоять из множеств функций, отображающих компактные подмножества K в открытые подмножества U, при изменении K и U во всем исходном топологическом пространстве, дополненных их конечными пересечениями (которые должны быть открытыми по определению топологии) и произвольными объединениями (которые также должны быть открытыми). Это дает понятие непрерывности в пространстве функций, позволяющее рассматривать непрерывные деформации самих гомеоморфизмов, называемые гомотопиями. Группа отображающих классов определяется как множество гомотопических классов гомеоморфизмов, с групповой структурой, индуцированной групповой структурой композиции функций, уже существующей на пространстве гомеоморфизмов.

Поверхности

Классы отображений поверхностей были интенсивно изучены и иногда называются модульными группами Тейхмюллера (обратите внимание на особый случай, указанный выше), поскольку они действуют на пространство Тейхмюллера, а фактор-пространство является модульным пространством поверхностей Римана, гомеоморфных данной поверхности. Эти группы демонстрируют свойства, схожие как с гиперболическими группами, так и с линейными группами более высокого ранга. Они имеют множество применений в теории геометрических трехмерных многообразий Турстона (например, для расслоений над поверхностями). Элементы этих групп также изучались сами по себе: важным результатом является теорема Нильсена — Турстона о классификации, а генерирующим семейством для группы служат повороты Дена, которые в некотором смысле являются "наиболее простыми" классами отображений. Любая конечная группа является подгруппой группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности; более того, любую конечную группу можно реализовать как группу изометрий некоторой компактной поверхности Римана (что непосредственно влечет за собой ее вложение в группу классов отображений лежащей в основе топологической поверхности).

3-Многообразие

Группы класса отображений трёхмерных многообразий также интенсивно изучались и тесно связаны с группами класса отображений двумерных многообразий. Например, любая конечная группа может быть реализована как группа класса отображений (и также группа изометрий) компактного гиперболического трёхмерного многообразия.

Картографирование классовых групп пар

Для заданной пары пространств (X, A) группа классов сопоставлений пары — это классы изотопии автоморфизмов пары, где автоморфизм пары (X, A) определяется как автоморфизм пространства X, сохраняющий множество A, то есть f: X → X обратим и f(A) = A.

Группа симметрии узла и звеньев

Если K ⊂ S³ — узел или зацепление, то группа симметрии узла (соответственно, зацепления) определяется как группа классов отображений пары (S³, K). Известно, что группа симметрии гиперболического узла является диэдральной или циклической, причем любая диэдральная и циклическая группа может быть реализована как группа симметрии узлов. Группа симметрии торового узла, как известно, имеет порядок два, Z₂.

Стабильная группа классов отображения

Можно вложить поверхность рода g и с 1 граничной компонентой в , добавив дополнительное отверстие на конце (то есть склеивая и ), и таким образом, автоморфизмы малой поверхности, фиксирующие границу, продолжаются на большую поверхность. Взятие прямой границы этих групп и включений дает стабильную группу классов отображений, рациональное кольцо когомологий которой было предсказано Дэвидом Мамфордом (одна из гипотез, известных как гипотезы Мамфорда). Интегральное (а не только рациональное) кольцо когомологий было вычислено в 2002 году Ибом Мадсеном и Майклом Вайсом, что подтвердило гипотезу Мамфорда.