Введение

В математике, расслоение — это обобщение волокнистого расслоения, отбрасывающее условие локальной структуры произведения. Требование локальной структуры произведения опирается на наличие у расслоения топологии. Без этого требования можно рассматривать в качестве расслоений более общие объекты. Например, можно рассмотреть расслоение π: E→ B, где E и B — множества. В этом случае уже не обязательно, чтобы прообразы были одинаковы, в отличие от волокнистых расслоений, где волокна должны быть изоморфны (в случае векторных расслоений) и гомеоморфны.

Примеры

Если E и B — гладкие многообразия, а p — гладкое, сюръективное и, кроме того, погружение, то расслоение является волокнистым многообразием. Здесь и в последующих примерах условие гладкости можно ослабить до непрерывности или усилить до аналитичности, либо это может быть что-то разумное, например, непрерывно дифференцируемое (C¹), между ними. Если для каждой пары точек b₁ и b₂ в основании соответствующие волокна p⁻¹(b₁) и p⁻¹(b₂) гомотопно эквивалентны, то расслоение является фибрацией. Если для каждой пары точек b₁ и b₂ в основании соответствующие волокна p⁻¹(b₁) и p⁻¹(b₂) гомеоморфны, и кроме того расслоение удовлетворяет определённым условиям локальной тривиальности, изложенным в соответствующих связанных статьях, то расслоение является расслоением с волокном. Обычно на волокнах, помимо топологии, имеется дополнительная структура, например, структура группы или структура векторного пространства. Тогда требуется, чтобы гомеоморфизм был изоморфизмом относительно этой структуры, а условия локальной тривиальности соответственно ужесточались. Главное расслоение — это расслоение с волокном, наделённое правым групповым действием с определёнными свойствами. Примером главного расслоения является расслоение кадров. Если для каждой пары точек b₁ и b₂ в основании соответствующие волокна p⁻¹(b₁) и p⁻¹(b₂) являются векторными пространствами одной и той же размерности, то расслоение является векторным расслоением, если выполнены соответствующие условия локальной тривиальности. Касательное расслоение — пример векторного расслоения.

Объекты пакета

Более общо, расслоения или объекты расслоений могут быть определены в любой категории: в категории C расслоение – это просто эпиморфизм π: E → B. Если категория не является конкретной, то понятие прообраза отображения не обязательно существует. Следовательно, такие расслоения могут вообще не иметь волокон, хотя для достаточно хорошо себя ведущих категорий они их имеют; например, для категории с обратными пределами и терминальным объектом 1 точки B можно отождествить с морфизмами p: 1 → B, а волокно p получается как обратный предел p и π. Категория расслоений над B является подкатегорией категории сечений (C↓B) объектов над B, а категория расслоений без фиксированного базового объекта является подкатегорией категории запятой (C↓C), которая также является функторной категорией C², категорией морфизмов в C.

Категория гладких векторных расслоений является объектом расслоения над категорией гладких многообразий в Cat, категории малых категорий. Функтор, отображающий каждое многообразие в его касательное расслоение, является примером сечения этого объекта расслоения.