Введение

Соотношение двух последовательных целых чисел

В математике суперчастичное отношение, также называемое суперчастичным числом или эпиморным отношением, — это отношение двух последовательных целых чисел. В частности, это отношение имеет вид:
где n — положительное целое число. Таким образом:

Суперчастичные отношения были описаны Никомахом в его труде «Введение в арифметику». Хотя эти числа находят применение в современной чистой математике, области исследования, которые наиболее часто упоминают суперчастичные отношения под этим названием, — это теория музыки.

Другие применения

В изучении гармонии многие музыкальные интервалы могут быть выражены в виде сверхчастного отношения (например, благодаря октавной эквивалентности, девятая гармоника, 9/1, может быть выражена как сверхчастное отношение, 9/8). Действительно, являлось ли отношение сверхчастным, было важнейшим критерием в понимании музыкальной гармонии у Птолемея. В этом контексте теорема Стормера может быть использована для перечисления всех возможных сверхчастных чисел для заданного предела, то есть всех отношений такого типа, в которых и числитель, и знаменатель являются гладкими числами. Эти отношения также важны для визуальной гармонии. Отношения сторон 4:3 и 3:2 часто встречаются в цифровой фотографии, а отношения сторон 7:6 и 5:4 используются в среднеформатной и крупноформатной фотографии соответственно.

Названия соотношений и соответствующие интервалы

Каждая пара смежных положительных целых чисел представляет собой сверхчастное отношение, и аналогично каждая пара смежных гармоник в гармоническом ряду (музыка) представляет собой сверхчастное отношение. Многие отдельные сверхчастные отношения имеют свои собственные названия, либо в исторической математике, либо в теории музыки. К ним относятся следующие:

+Примеры Отношение Центов Название/музыкальный интервал Нотация Бена Джонстона выше До Аудио 2:1 1200 дуплекс: октава До' 3:2 701,96 сескиальтерум: чистая квинта Соль 4:3 498,04 сескитерциум: чистая кварта Фа 5:4 386,31 сескиквартум: большая терция Ми 6:5 315,64 сескиквинтум: малая терция Ми 7:6 266,87 септимальная малая терция Ми 8:7 231,17 септимальный большой секунда Ре 9:8 203,91 сескиоктавум: большая секунда Ре 10:9 182,40 сескинона: малый тон Ре 11:10 165,00 большая ундецимальная нейтральная секунда Ре 12:11 150,64 меньшая ундецимальная нейтральная секунда Ре 15:14 119,44 септимальный диатонический полутон До 16:15 111,73 справедливый диатонический полутон Ре 17:16 104,96 малый диатонический полутон До 21:20 84,47 септимальный хроматический полутон Ре 25:24 70,67 справедливый хроматический полутон До 28:27 62,96 септимальный третий тон Ре 32:31 54,96 31-я субгармоника, низший квартальтон Ре 49:48 35,70 септимальная диеза Ре 50:49 34,98 септимальный шестой тон Си 64:63 27,26 септимальная запятая, 63-я субгармоника До 81:80 21,51 синтоническая запятая До 126:125 13,79 септимальная полузапятая Ре 128:127 13,58 127-я субгармоника 225:224 7,71 септимальный клеизма Си 256:255 6,78 255-я субгармоника Ре 4375:4374 0,40 рагизма До

Корень некоторых из этих терминов происходит от латинского sesqui – "один и половина" (от semis "половина" и que "и"), описывающего отношение 3:2.