Введение
Кривая, описываемая точкой на стержне при перемещении одного его конца по прямой линии. В геометрии трактрикс (; множественное число: трактриксы) — это кривая, по которой движется объект под действием силы трения, когда его тянут по горизонтальной плоскости с помощью нити, прикрепленной к точке приложения силы (трактору), которая перемещается перпендикулярно к линии, соединяющей объект и точку приложения силы, с бесконечно малой скоростью. Таким образом, это кривая погони. Впервые она была описана Клодом Перро в 1670 году, а затем исследована Исааком Ньютоном (1676) и Кристианом Гюйгенсом (1693).
In geometry, a tractrix (; plural: tractrices) is the curve along which an object moves, under the influence of friction, when pulled on a horizontal plane by a line segment attached to a pulling point (the tractor) that moves at a right angle to the initial line between the object and the puller at an infinitesimal speed. It is therefore a curve of pursuit. It was first introduced by Claude Perrault in 1670, and later studied by Isaac Newton (1676) and Christiaan Huygens (1693).
Свойства
Кривая может быть параметризована уравнением. В силу геометрического способа её определения, трактрикса обладает свойством, что отрезок её касательной между асимптотой и точкой касания имеет постоянную длину a. Длина дуги одной ветви между 1/x = x1 и 1/x = x2 равна. Площадь между трактрисой и её асимптотой равна, которую можно найти с помощью интегрирования или теоремы Мамикона. Эволюта трактрисы (то есть огибающая нормалей к трактрисе) представляет собой цепную кривую, задаваемую уравнением. Поверхность вращения, образованная вращением трактрисы вокруг её асимптоты, является псевдосферой. Трактриса — трансцендентная кривая, которую нельзя описать полиномиальным уравнением.
Практическое применение
В 1927 году П. Г. А. Х. Войт запатентовал конструкцию рупорного громкоговорителя, основанную на предположении, что волновой фронт, распространяющийся по рупору, имеет форму сферы постоянного радиуса. Цель заключалась в минимизации искажений, вызванных внутренним отражением звука внутри рупора. Результирующая форма представляет собой поверхность вращения трактрисы. Важным применением является технология формовки листового металла. В частности, профиль трактрисы используется для угла матрицы, на которой листовой металл изгибается при глубокой вытяжке. Конструкция зубчатого шкива обеспечивает повышенную эффективность передачи механической мощности за счет использования формы, сочетающей трактрису и цепную линию, для зубьев. Эта форма минимизирует трение зубьев ремня при контакте со шкивом, поскольку движущиеся зубья входят в зацепление и отключаются с минимальным скольжением. В исходных конструкциях зубчатых ремней использовались более простые трапециевидные или круглые формы зубьев, которые вызывали значительное скольжение и трение.
Машины для рисования
В октябре-ноябре 1692 года Кристиан Гюйгенс описал три машины для построения трактрисы. Концепция заключалась в аналоговом вычислительном механизме, реализующем принцип тягового построения. Создание этого устройства было непрактично с технологической точки зрения во времена Лейбница и так и не было осуществлено. В 1706 году Джон Перкс построил машину для тягового построения с целью вычисления гиперболической квадратуры. В 1729 году Джованни Полени создал тяговое устройство, позволявшее строить графики логарифмических функций. История всех этих машин описана в статье Х. Дж. М. Боса.