История квантовой гравицы петлевого типа: от общих основ до современных исследований.

Введение

История науки. История петлевой квантовой гравитации насчитывает более трех десятилетий интенсивных исследований.

Классические теории гравитации

Общая теория относительности — это теория гравитации, опубликованная Альбертом Эйнштейном в 1915 году. Согласно этой теории, сила гравитации является проявлением локальной геометрии пространства-времени. Математически теория построена на основе метрической геометрии Бернарда Римана, но группа пространственно-временных симметрий Лоренца (ключевой элемент собственной теории специальной относительности Эйнштейна) заменяет группу вращательных симметрий пространства. (Впоследствии петлевая квантовая гравитация унаследовала эту геометрическую интерпретацию гравитации и постулирует, что квантовая теория гравитации по своей сути является квантовой теорией пространства-времени.) В 1920-х годах французский математик Эли Картан сформулировал теорию Эйнштейна на языке расслоений и связностей, что является обобщением римановой геометрии, в которое Картан внес значительный вклад. Так называемая теория гравитации Эйнштейна — Картана не только переформулировала, но и обобщила общую теорию относительности, допустив существование пространств-времен с кручением, помимо кривизны. В геометрии расслоений Картана концепция параллельного переноса является более фундаментальной, чем концепция расстояния, которая лежит в основе римановой геометрии. Аналогичный концептуальный сдвиг происходит между инвариантным интервалом общей теории относительности Эйнштейна и параллельным переносом теории Эйнштейна — Картана.

Спин-сети

В 1971 году физик Роджер Пенроуз исследовал идею возникновения пространства из квантовой комбинаторной структуры. Его исследования привели к разработке спиновых сетей. Поскольку это была квантовая теория группы вращений, а не группы Лоренца, Пенроуз продолжил разработку твисторов.

Квантовая гравитация с петлей

В 1982 году Амитабха Сен попытался сформулировать гамильтоновскую формулировку общей теории относительности, основанную на спинорных переменных, где эти переменные являются левыми и правыми спинорными компонентами, эквивалентными связи Эйнштейна — Картана общей теории относительности. В частности, Сен обнаружил новый способ записать два ограничения гамильтоновой формулировки общей теории относительности АДМ с точки зрения этих спинорных связей. В его формулировке ограничения представляют собой просто условия, при которых спинорная кривизна Вейля не имеет следа и является симметричной. Он также обнаружил наличие новых ограничений, которые предложил интерпретировать как эквивалент ограничений Гаусса теорий поля Янга — Миллса. Однако работа Сена не привела к созданию полной, ясной и систематической теории и, в частности, не позволила четко обсудить сопряжённый импульс спинорных переменных, его физическую интерпретацию и его связь с метрикой (в своей работе он упоминал об этом как о некоторой переменной лямбда). В 1986–87 годах физик Абхай Аштекар завершил проект, начатый Амитабхой Сеном. Он чётко определил фундаментальные сопряжённые переменные спинорной гравитации: конфигурационная переменная представляет собой спинорную связь (правило для параллельного переноса; технически — соединение), а сопряжённая импульсная переменная — координатный каркас (называемый тетрадой) в каждой точке. Таким образом, эти переменные стали известны как переменные Аштекара — особый вариант теории Эйнштейна — Картана со сложной связью. Общая теория относительности, выраженная таким образом, позволила приступить к её квантованию с использованием известных методов из квантовой теории поля. Квантование гравитации в формулировке Аштекара было основано на петлях Вильсона — технике, разработанной Кеннетом Г. Вильсоном в 1974 году для изучения области сильных взаимодействий квантовой хромодинамики (КХД). Интересно отметить в этой связи, что петли Вильсона, как известно, вели себя некорректно в случае стандартной квантовой теории поля на (плоском) пространстве Минковского и, следовательно, не обеспечивали непертурбативное квантование КХД. Однако, поскольку формулировка Аштекара была независима от фона, петли Вильсона можно было использовать в качестве основы для непертурбативного квантования гравитации. Благодаря усилиям Сена и Аштекара была получена постановка, в которой уравнение Вилера — Девитта было записано в терминах хорошо определённого гамильтонова оператора на хорошо определённом гильбертовом пространстве. Это привело к построению первого известного точного решения, так называемой формы Черна — Саймонса или состояния Кодамы. Физическая интерпретация этого состояния остаётся неясной. В 1988–90 годах Карло Ровелли и Ли Смолин получили явную основу состояний квантовой геометрии, которая, как оказалось, параметризована спиновыми сетями Пенроуза. В этом контексте спиновые сети возникли как обобщение петель Вильсона, необходимое для работы с взаимно пересекающимися петлями. С математической точки зрения спиновые сети связаны с теорией представлений групп и могут использоваться для построения инвариантов узлов, таких как полином Джонса. Таким образом, петлевая квантовая гравитация (ПКГ) стала связана с топологической квантовой теорией поля и теорией представлений групп. В 1994 году Ровелли и Смолин показали, что квантовые операторы теории, связанные с площадью и объёмом, имеют дискретный спектр. После этого активно велись работы по полуклассическому пределу, пределу континуума и динамике, но прогресс был медленнее. На фронте полуклассического предела цель состоит в том, чтобы получить и изучить аналоги когерентных состояний гармонического осциллятора (кандидаты известны как состояния плетения).

In 1982, Amitabha Sen tried to formulate a Hamiltonian formulation of general relativity based on spinorial variables, where these variables are the left and right spinorial component equivalents of Einstein–Cartan connection of general relativity. Particularly, Sen discovered a new way to write down the two constraints of the ADM Hamiltonian formulation of general relativity in terms of these spinorial connections. In his form, the constraints are simply conditions that the spinorial Weyl curvature is trace free and symmetric. He also discovered the presence of new constraints which he suggested to be interpreted as the equivalent of Gauss constraint of Yang–Mills field theories. But Sen's work fell short of giving a full clear systematic theory and particularly failed to clearly discuss the conjugate momenta to the spinorial variables, its physical interpretation, and its relation to the metric (in his work he indicated this as some lambda variable). In 1986–87, physicist Abhay Ashtekar completed the project which Amitabha Sen began. He clearly identified the fundamental conjugate variables of spinorial gravity: The configuration variable is as a spinoral connection (a rule for parallel transport; technically, a connection) and the conjugate momentum variable is a coordinate frame (called a vierbein) at each point. So these variable became what we know as Ashtekar variables, a particular flavor of Einstein–Cartan theory with a complex connection. General relativity theory expressed in this way, made possible to pursue quantization of it using well known techniques from quantum gauge field theory. The quantization of gravity in the Ashtekar formulation was based on Wilson loops, a technique developed by Kenneth G. Wilson in 1974 to study the strong interaction regime of quantum chromodynamics (QCD). It is interesting in this connection that Wilson loops were known to be ill behaved in the case of standard quantum field theory on (flat) Minkowski space, and so did not provide a nonperturbative quantization of QCD. However, because the Ashtekar formulation was background independent, it was possible to use Wilson loops as the basis for nonperturbative quantization of gravity. Due to efforts by Sen and Ashtekar, a setting in which the Wheeler–DeWitt equation was written in terms of a well defined Hamiltonian operator on a well defined Hilbert space was obtained. This led to the construction of the first known exact solution, the so called Chern–Simons form or Kodama state. The physical interpretation of this state remains obscure. In 1988–90, Carlo Rovelli and Lee Smolin obtained an explicit basis of states of quantum geometry, which turned out to be labeled by Penrose's spin networks. In this context, spin networks arose as a generalization of Wilson loops necessary to deal with mutually intersecting loops. Mathematically, spin networks are related to group representation theory and can be used to construct knot invariants such as the Jones polynomial. Loop quantum gravity (LQG) thus became related to topological quantum field theory and group representation theory. In 1994, Rovelli and Smolin showed that the quantum operators of the theory associated to area and volume have a discrete spectrum. Work on the semi classical limit, the continuum limit, and dynamics was intense after this, but progress was slower. On the semi classical limit front, the goal is to obtain and study analogues of the harmonic oscillator coherent states (candidates are known as weave states).

Динамика Гамильтона

Квантовая гравитация петлевого типа (LQG) изначально была сформулирована как квантование гамильтонова формализма ADM, в соответствии с которым уравнения Эйнштейна представляют собой набор ограничений (Гаусса, диффеоморфизмов и гамильтонова). Кинематика кодируется в ограничениях Гаусса и диффеоморфизмов, решением которых является пространство, порождаемое базисом спиновых сетей. Задача состоит в определении гамильтонова ограничения как самосопряжённого оператора на кинематическом пространстве состояний. Наиболее перспективной работой в этом направлении является проект «Феникс» Томаса Тимана.

Динамика ковариантов

Большая часть недавних исследований в LQG проводится в ковариантной формулировке теории, называемой "теорией спиновых пен". Современная версия ковариантной динамики является результатом согласованных усилий различных групп, но обычно ассоциируется со статьей Джонатана Энгла, Роберто Перейры и Карло Ровелли, опубликованной в 2007–2008 годах. Эвристически, можно предположить, что эволюция между состояниями спиновых сетей может быть описана дискретными комбинаторными операциями над спиновыми сетями, которые, в свою очередь, формируют двумерный скелет пространства-времени. Этот подход связан с моделями суммирования состояний в статистической механике и топологической квантовой теории поля, такими как модель Тураева — Виро для 3D квантовой гравитации, а также с методом Реджского исчисления для вычисления интеграла по траекториям Фейнмана в общей теории относительности путем дискретизации пространства-времени.