Интеграл Дарбу: определение, свойства и связь с интегралом Римана. Простота вычислений и доказательств. Основа для изучения интеграла Римана-Стильтьеса.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Интеграл, построенный с использованием сумм Дарбукса.
Integral constructed using Darboux sums
В области математики, известной как вещественный анализ, интеграл Дарбукса строится с использованием сумм Дарбукса и является одним из возможных определений интеграла функции. Интегралы Дарбукса эквивалентны интегралам Римана, то есть функция является интегрируемой по Дарбу, если и только если она интегрируема по Риману, и значения двух интегралов, если они существуют, равны. Определение интеграла Дарбукса имеет преимущество в том, что его проще применять в вычислениях или доказательствах, чем определение интеграла Римана. Следовательно, вводные учебники по математическому анализу и вещественному анализу часто рассматривают интегрирование по Риману, используя интеграл Дарбукса, а не собственно интеграл Римана. Кроме того, определение легко обобщается на определение интеграла Римана — Стильтьеса. Интегралы Дарбукса названы в честь их изобретателя, Гастона Дарбукса (1842–1917).
In the branch of mathematics known as real analysis, the Darboux integral is constructed using Darboux sums and is one possible definition of the integral of a function. Darboux integrals are equivalent to Riemann integrals, meaning that a function is Darboux integrable if and only if it is Riemann integrable, and the values of the two integrals, if they exist, are equal. The definition of the Darboux integral has the advantage of being easier to apply in computations or proofs than that of the Riemann integral. Consequently, introductory textbooks on calculus and real analysis often develop Riemann integration using the Darboux integral, rather than the true Riemann integral. Moreover, the definition is readily extended to defining Riemann–Stieltjes integration. Darboux integrals are named after their inventor, Gaston Darboux (1842–1917).
Определение
В определении интеграла Дарбукса рассматриваются верхний и нижний (Дарбукс) интегралы, которые существуют для любой ограниченной вещественнозначной функции на интервале. Интеграл Дарбукса существует тогда и только тогда, когда верхний и нижний интегралы равны. Верхний и нижний интегралы, в свою очередь, являются инфимумом и супремумом, соответственно, верхних и нижних (Дарбукс) сумм, которые соответственно переоценивают и недооценивают "площадь под кривой". В частности, для заданной разбиения интервала интегрирования верхняя и нижняя суммы складывают вместе площади прямоугольных полос, высота которых является супремумом и инфимумом, соответственно, функции f в каждом подинтервале разбиения. Эти идеи будут уточнены ниже.
The definition of the Darboux integral considers upper and lower (Darboux) integrals, which exist for any bounded real valued function on the interval The Darboux integral exists if and only if the upper and lower integrals are equal. The upper and lower integrals are in turn the infimum and supremum, respectively, of upper and lower (Darboux) sums which over and underestimate, respectively, the "area under the curve." In particular, for a given partition of the interval of integration, the upper and lower sums add together the areas of rectangular slices whose heights are the supremum and infimum, respectively, of f in each subinterval of the partition. These ideas are made precise below: