Введение
Набор топологических инвариантов
В математике, в частности в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии, классы Стифеля — Уитни представляют собой набор топологических инвариантов вещественного векторного расслоения, описывающих препятствия для построения повсеместно линейно независимых сечений этого расслоения. Классы Стифеля — Уитни индексируются числами от 0 до n, где n — ранг векторного расслоения. Если класс Стифеля — Уитни индекса i отличен от нуля, то не существует повсюду линейно независимых сечений векторного расслоения. Ненулевой n-й класс Стифеля — Уитни указывает на то, что каждое сечение расслоения должно обращаться в нуль в некоторой точке. Ненулевой первый класс Стифеля — Уитни указывает на то, что векторное расслоение не ориентируемо. Например, первый класс Стифеля — Уитни полосы Мёбиуса, рассматриваемой как расслоение прямой над окружностью, отличен от нуля, в то время как первый класс Стифеля — Уитни тривиального расслоения прямой над окружностью равен нулю. Класс Стифеля — Уитни назван в честь Эдуарда Стифеля и Хасслера Уитни и является примером характеристического класса, связанного с вещественными векторными расслоениями. В алгебраической геометрии можно также определить аналогичные классы Стифеля — Уитни для векторных расслоений с невырожденной квадратичной формой, принимающие значения в группах этальной когомологии или в K-теории Милнора. В качестве частного случая можно определить классы Стифеля — Уитни для квадратичных форм над полями, причём первые два случая соответствуют дискриминанту и инварианту Хассе — Витта.
In mathematics, in particular in algebraic topology and differential geometry, the Stiefel–Whitney classes are a set of topological invariants of a real vector bundle that describe the obstructions to constructing everywhere independent sets of sections of the vector bundle. Stiefel–Whitney classes are indexed from 0 to n, where n is the rank of the vector bundle. If the Stiefel–Whitney class of index i is nonzero, then there cannot exist everywhere linearly independent sections of the vector bundle. A nonzero nth Stiefel–Whitney class indicates that every section of the bundle must vanish at some point. A nonzero first Stiefel–Whitney class indicates that the vector bundle is not orientable. For example, the first Stiefel–Whitney class of the Möbius strip, as a line bundle over the circle, is not zero, whereas the first Stiefel–Whitney class of the trivial line bundle over the circle, , is zero. The Stiefel–Whitney class was named for Eduard Stiefel and Hassler Whitney and is an example of a characteristic class associated to real vector bundles. In algebraic geometry one can also define analogous Stiefel–Whitney classes for vector bundles with a non degenerate quadratic form, taking values in etale cohomology groups or in Milnor K theory. As a special case one can define Stiefel–Whitney classes for quadratic forms over fields, the first two cases being the discriminant and the Hasse–Witt invariant .
Происхождение
Классы Стифеля — Уитни получили свое название потому, что Эдуард Стифель и Хасслер Уитни открыли их как редукции по модулю 2 классов препятствий для построения повсеместно линейно независимых сечений векторного расслоения E, ограниченных i-скелетом X. Здесь n обозначает размерность волокна векторного расслоения.
To be precise, provided X is a CW complex, Whitney defined classes in the i th cellular cohomology group of X with twisted coefficients. The coefficient system being the st homotopy group of the Stiefel manifold of linearly independent vectors in the fibres of E. Whitney proved that if and only if E, when restricted to the i skeleton of X, has linearly independent sections. Since is either infinite cyclic or isomorphic to , there is a canonical reduction of the classes to classes which are the Stiefel–Whitney classes. Moreover, whenever , the two classes are identical. Thus, if and only if the bundle is orientable. The class contains no information, because it is equal to 1 by definition. Its creation by Whitney was an act of creative notation, allowing the Whitney sum Formula to be true.
В частности, если X является CW-комплексом, Уитни определил классы в i-й группе клеточной кокогомологии X с кручеными коэффициентами. Система коэффициентов является i-й гомотопической группой многообразия Стифеля линейно независимых векторов в волокнах E. Уитни доказала, что E, ограниченное i-скелетом X, имеет линейно независимые сечения тогда и только тогда, когда это верно. Поскольку i-я гомотопическая группа либо бесконечно циклическая, либо изоморфна Z/2Z, существует каноническое сведение этих классов к классам Стифеля — Уитни. Более того, когда i=1, два класса совпадают. Таким образом, расслоение E ориентируемо тогда и только тогда, когда первый класс Стифеля — Уитни равен нулю. Класс w₀ не содержит никакой информации, поскольку он по определению равен 1. Его введение Уитни было актом творческой нотации, позволяющим формуле суммы Уитни быть верной.
To be precise, provided X is a CW complex, Whitney defined classes in the i th cellular cohomology group of X with twisted coefficients. The coefficient system being the st homotopy group of the Stiefel manifold of linearly independent vectors in the fibres of E. Whitney proved that if and only if E, when restricted to the i skeleton of X, has linearly independent sections. Since is either infinite cyclic or isomorphic to , there is a canonical reduction of the classes to classes which are the Stiefel–Whitney classes. Moreover, whenever , the two classes are identical. Thus, if and only if the bundle is orientable. The class contains no information, because it is equal to 1 by definition. Its creation by Whitney was an act of creative notation, allowing the Whitney sum Formula to be true.
Определения
Во всей работе обозначает сингулярные когомологии пространства X с коэффициентами в группе G. Слово "map" означает всегда непрерывное отображение между топологическими пространствами.
Группа линейных пучков
Если Vect1(X) рассматривается как группа относительно операции тензорного произведения, то класс Штифеля — Уитни, w1 : Vect1(X) → H1(X; Z/2Z), является изоморфизмом. То есть, w1(λ ⊗ μ) = w1(λ) + w1(μ) для всех прямых расслоений λ, μ → X. Например, поскольку H1(S1; Z/2Z) = Z/2Z, существует только два прямых расслоения над окружностью с точностью до изоморфизма расслоений: тривиальное расслоение и открытая полоса Мёбиуса (то есть полоса Мёбиуса с удалённой границей). Аналогичное построение для комплексных векторных расслоений показывает, что класс Черна определяет биекцию между комплексными прямыми расслоениями над X и H2(X; Z), поскольку соответствующее классифицирующее пространство — P∞(C), являющееся K(Z, 2). Этот изоморфизм справедлив для топологических прямых расслоений, а препятствием к инъективности класса Черна для алгебраических векторных расслоений является якобиева многообразие.
Неизоморфные пучки с одинаковыми классами StiefelWhitney
Хотя отображение является биекцией, соответствующее отображение не обязательно инъективно в более высоких размерностях. Например, рассмотрим тангенциальный расслоение для четного n. При каноническом вложении в , нормальное расслоение к является линейным расслоением. Поскольку ориентируемо, оно тривиально. Сумма является просто ограничением на , которое тривиально, поскольку стягиваемо. Следовательно, w(TSn) = w(TSn)w(ν) = w(TSn ⊕ ν) = 1. Но, при условии, что n четно, TSn → Sn нетривиально; его класс Эйлера , где [Sn] обозначает фундаментальный класс Sn, а χ – характеристику Эйлера.
Классы Ву
Классы Стифеля–Уитни — это квадраты Стинрода классов У, определённые У Вэньцзюнем в. Проще говоря, полный класс Стифеля–Уитни — это полный квадрат Стинрода полного класса У: классы У чаще всего определяются неявно через квадраты Стинрода, как класс когомологии, представляющий эти квадраты Стинрода. Пусть многообразие X имеет размерность n. Тогда для любого когомологического класса x степени, или, более конкретно, мы можем потребовать, снова для когомологических классов x степени.
Or more narrowly, we can demand , again for cohomology classes x of degree .
Отношения по алгебре Стинрода
По алгебре Стинрода классы Стифеля — Уитни гладкого многообразия (определяемые как классы Стифеля — Уитни касательного расслоения) порождаются классами вида В частности, классы Стифеля — Уитни удовлетворяют формуле Ву, названной в честь Ву Вэньцзюна.