Введение

Понятие линейной алгебры

В линейной алгебре координатный вектор — это представление вектора в виде упорядоченного списка чисел (кортежа), описывающего вектор относительно выбранного упорядоченного базиса. Простым примером может служить положение, такое как (5, 2, 1) в трехмерной декартовой системе координат, где оси этой системы образуют базис. Координаты всегда задаются относительно упорядоченного базиса. Базисы и соответствующие им координатные представления позволяют конкретно реализовать векторные пространства и линейные преобразования в виде столбцовых векторов, строковых векторов и матриц, что делает их полезными при вычислениях. Идея координатного вектора применима и к бесконечномерным векторным пространствам, что будет рассмотрено далее.

Стандартное представление

Мы можем механизировать вышеуказанное преобразование, определив функцию, называемую стандартным представлением V относительно B, которая отображает каждый вектор в его координатное представление: тогда является линейным преобразованием из V в Fn. Фактически, это изоморфизм, и его обратное отображение – это просто

В качестве альтернативы, мы могли бы изначально определить как вышеуказанную функцию, понять, что является изоморфизмом, и определить как ее обратную.

Пример 2

Матрицы Паули, представляющие спиновый оператор при переходе от собственных состояний спина к векторным координатам.

Следующее

Матрица M является невырожденной, а M⁻¹ — матрицей преобразования базиса из C в B. Иными словами,

Бесконечномерные векторные пространства

Предположим, V — бесконечномерное векторное пространство над полем F. Если размерность равна κ, то существует базис, состоящий из κ элементов для V. После выбора порядка этот базис можно рассматривать как упорядоченный базис. Элементы V являются конечными линейными комбинациями элементов базиса, что приводит к единственным координатным представлениям, как было описано ранее. Единственное отличие состоит в том, что множество индексов для координат не является конечным. Поскольку заданный вектор v является конечной линейной комбинацией базисных элементов, только ненулевые коэффициенты этой линейной комбинации, представляющей v, будут ненулевыми компонентами координатного вектора v. Таким образом, координатный вектор v равен нулю во всех компонентах, кроме конечного числа. Линейные преобразования между (возможно) бесконечномерными векторными пространствами можно моделировать, аналогично конечномерному случаю, с помощью бесконечных матриц. Частный случай преобразований из V в V описан в статье о полном линейном кольце.