Введение
В квантовой механике картина взаимодействия (также известная как представление взаимодействия или картина Дирака, названная в честь Пола Дирака, который её ввёл) является промежуточным представлением между картиной Шрёдингера и картиной Гейзенберга. В то время как в двух других картинах временную зависимость несет либо вектор состояния, либо операторы, в картине взаимодействия временную зависимость наблюдаемых несут оба. Картина взаимодействия удобна для анализа изменений волновых функций и наблюдаемых, вызванных взаимодействиями. Большинство расчётов в квантовой теории поля используют представление взаимодействия, поскольку они строят решение уравнения Шрёдингера для многих тел как решение задачи свободных частиц с добавлением некоторых неизвестных членов, описывающих взаимодействие. Уравнения, включающие операторы, действующие в разные моменты времени, справедливые в картине взаимодействия, не обязательно справедливы в картинах Шрёдингера или Гейзенберга. Это связано с тем, что зависящие от времени унитарные преобразования связывают операторы в одной картине с соответствующими операторами в других. Картина взаимодействия является частным случаем унитарного преобразования, применяемого к гамильтониану и векторам состояния.
In quantum mechanics, the interaction picture (also known as the interaction representation or Dirac picture after Paul Dirac, who introduced it) is an intermediate representation between the Schrödinger picture and the Heisenberg picture. Whereas in the other two pictures either the state vector or the operators carry time dependence, in the interaction picture both carry part of the time dependence of observables. The interaction picture is useful in dealing with changes to the wave functions and observables due to interactions. Most field theoretical calculations use the interaction representation because they construct the solution to the many body Schrödinger equation as the solution to the free particle problem plus some unknown interaction parts. Equations that include operators acting at different times, which hold in the interaction picture, don't necessarily hold in the Schrödinger or the Heisenberg picture. This is because time dependent unitary transformations relate operators in one picture to the analogous operators in the others. The interaction picture is a special case of unitary transformation applied to the Hamiltonian and state vectors.
Векторы состояния
Пусть $\Psi$ — вектор состояния, зависящий от времени в картине Шредингера. Вектор состояния в картине взаимодействия, $\Psi_I$, определяется с помощью дополнительного унитарного преобразования, зависящего от времени.
Матрица плотности
Можно показать, что матрица плотности преобразуется в картину взаимодействия так же, как и любой другой оператор. В частности, пусть ρI и ρS – матрицы плотности в картине взаимодействия и картине Шредингера соответственно. Если существует вероятность pn оказаться в физическом состоянии |ψn⟩, то
Временная эволюция операторов
Если оператор AS не зависит от времени (т.е. не имеет "явной временной зависимости"; см. выше), то соответствующее изменение AI(t) во времени задается выражением
В картине взаимодействия операторы изменяются во времени так же, как операторы в картине Гейзенберга с гамильтонианом.
Уравнение Швингера Томонага
Термин "представление взаимодействия" был изобретен Швингером. В этом новом смешанном представлении вектор состояния, как правило, больше не является постоянным, но остаётся постоянным при отсутствии взаимодействия между полями. Переход к этому представлению непосредственно приводит к уравнению Томонаги — Швингера:
Этот подход Швингер называл "дифференциальным" и "полевым", в отличие от "интегрального" и "частичным" подхода, используемого в диаграммах Фейнмана. Основная идея заключается в том, что если взаимодействие характеризуется малой константой связи (то есть, в случае электромагнетизма, порядка постоянной тонкой структуры), то последовательные члены теории возмущений будут степенями этой константы и, следовательно, будут малы.
Использование
Целью картины взаимодействия является перенос всей временной зависимости, обусловленной H0, на операторы, тем самым позволяя им эволюционировать свободно, и оставляя только H1,I для управления временной эволюцией векторов состояния. Картина взаимодействия удобна при рассмотрении влияния небольшого члена взаимодействия, H1,S, добавленного к гамильтониану решенной системы, H0,S. Используя картину взаимодействия, можно применить теорию возмущений, зависящую от времени, для определения влияния H1,I в квантовой теории поля: в 1947 году Синичиро Томонага и Джулиан Швингер осознали, что ковариантную теорию возмущений можно элегантно сформулировать в картине взаимодействия, поскольку полевые операторы могут эволюционировать во времени как свободные поля, даже при наличии взаимодействий, которые теперь рассматриваются как возмущения в рядах Дайсона.