Теория Мора-Кулона: математическая модель прочности хрупких материалов (бетон, грунт, скалы). Применение в геотехнике и строительстве для расчета разрушения.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая модель в материаловедении
Mathematical model in materials science
Теория Мора-Кулона — это математическая модель (см. поверхность текучести), описывающая реакцию хрупких материалов, таких как бетон или завалы, на касательное напряжение, а также на нормальное напряжение. Большинство классических инженерных материалов подчиняются этому правилу по крайней мере на части своей кривой разрушения при сдвиге. В общем случае теория применима к материалам, у которых предел прочности при сжатии значительно превышает предел прочности при растяжении. В геотехническом строительстве она используется для определения прочности сдвига грунтов и горных пород при различных эффективных напряжениях. В строительной механике она используется для определения расчетной нагрузки, а также угла разрушения при смещении в бетоне и аналогичных материалах. Гипотеза трения Кулона используется для определения комбинации касательного и нормального напряжения, которая приведет к разрушению материала. Круг Мора используется для определения главных напряжений, которые создадут эту комбинацию касательного и нормального напряжения, а также угла плоскости, на которой это произойдет. Согласно принципу нормальности, напряжение, возникающее при разрушении, будет перпендикулярно линии, описывающей условие разрушения. Можно показать, что материал, разрушающийся в соответствии с гипотезой трения Кулона, будет демонстрировать смещение, возникающее при разрушении, образующее угол к линии разрушения, равный углу трения. Это позволяет определить прочность материала путем сравнения внешней механической работы, производимой смещением и внешней нагрузкой, с внутренней механической работой, производимой деформацией и напряжением на линии разрушения. В соответствии с законом сохранения энергии сумма этих величин должна быть равна нулю, что позволяет рассчитать расчетную нагрузку на конструкцию при разрушении. Распространенным усовершенствованием этой модели является объединение гипотезы трения Кулона с гипотезой главных напряжений Рэнкина для описания разрушения при разделении. Альтернативный подход выводит критерий Мора-Кулона как разрушение при растяжении.
Mohr–Coulomb theory is a mathematical model (see yield surface) describing the response of brittle materials such as concrete, or rubble piles, to shear stress as well as normal stress. Most of the classical engineering materials follow this rule in at least a portion of their shear failure envelope. Generally the theory applies to materials for which the compressive strength far exceeds the tensile strength. In geotechnical engineering it is used to define shear strength of soils and rocks at different effective stresses. In structural engineering it is used to determine failure load as well as the angle of fracture of a displacement fracture in concrete and similar materials. Coulomb's friction hypothesis is used to determine the combination of shear and normal stress that will cause a fracture of the material. Mohr's circle is used to determine which principal stresses will produce this combination of shear and normal stress, and the angle of the plane in which this will occur. According to the principle of normality the stress introduced at failure will be perpendicular to the line describing the fracture condition. It can be shown that a material failing according to Coulomb's friction hypothesis will show the displacement introduced at failure forming an angle to the line of fracture equal to the angle of friction. This makes the strength of the material determinable by comparing the external mechanical work introduced by the displacement and the external load with the internal mechanical work introduced by the strain and stress at the line of failure. By conservation of energy the sum of these must be zero and this will make it possible to calculate the failure load of the construction. A common improvement of this model is to combine Coulomb's friction hypothesis with Rankine's principal stress hypothesis to describe a separation fracture. An alternative view derives the Mohr Coulomb criterion as extension failure.
История развития
Теория Мора–Кулона названа в честь Шарля Огюстена де Кулона и Кристиана Отто Мора. Вклад Кулона – эссе 1776 года под названием «Опыт о применении правил максимумов и минимумов к некоторым задачам статики, относящимся к архитектуре». Моор разработал обобщенную форму теории к концу XIX века. Поскольку обобщенная форма повлияла на интерпретацию критерия, но не изменила его сути, некоторые тексты продолжают называть этот критерий просто «критерием Кулона».
The Mohr–Coulomb theory is named in honour of Charles Augustin de Coulomb and Christian Otto Mohr. Coulomb's contribution was a 1776 essay entitled "Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture" Mohr developed a generalised form of the theory around the end of the 19th century. As the generalised form affected the interpretation of the criterion, but not the substance of it, some texts continue to refer to the criterion as simply the 'Coulomb criterion'.
Моро-Кулонская отдача и пластичность
Поверхность текучести Мора-Кулона часто используется для моделирования пластического течения геоматериалов (и других когезионно-фрикционных материалов). Многие из таких материалов проявляют дилатационное поведение при триаксиальных состояниях напряжений, которое модель Мора-Кулона не учитывает. Кроме того, поскольку поверхность текучести имеет углы, использование оригинальной модели Мора-Кулона для определения направления пластического течения (в теории течения пластичности) может быть затруднительным. Распространенным подходом является использование неассоциированного потенциала пластического течения, который является гладким. Примером такого потенциала является функция
The Mohr–Coulomb yield surface is often used to model the plastic flow of geomaterials (and other cohesive frictional materials). Many such materials show dilatational behavior under triaxial states of stress which the Mohr–Coulomb model does not include. Also, since the yield surface has corners, it may be inconvenient to use the original Mohr–Coulomb model to determine the direction of plastic flow (in the flow theory of plasticity). A common approach is to use a non associated plastic flow potential that is smooth. An example of such a potential is the function
где – параметр, – значение при нулевой пластической деформации (также называемое начальным пределом текучести по сцеплению), – угол, образуемый поверхностью текучести в плоскости Рендулича при высоких значениях (этот угол также называется углом дилатации), а – подходящая функция, также гладкая в плоскости отклонений напряжений.
where is a parameter, is the value of when the plastic strain is zero (also called the initial cohesion yield stress), is the angle made by the yield surface in the Rendulic plane at high values of (this angle is also called the dilation angle), and is an appropriate function that is also smooth in the deviatoric stress plane.