Эксперимент Штерна — Герлаха: Квантование спина атомов

Введение

1922 год, физический эксперимент, демонстрирующий квантование спина атома.

В квантовой физике эксперимент Стерна — Герлаха продемонстрировал, что пространственная ориентация углового момента квантуется. Таким образом, было показано, что система атомного масштаба обладает присущими ей квантовыми свойствами. В оригинальном эксперименте атомы серебра направлялись через неоднородное магнитное поле, которое отклоняло их до столкновения с детекторным экраном, например, стеклянной пластиной. Частицы с ненулевым магнитным моментом отклонялись от прямолинейной траектории под действием градиента магнитного поля. На экране наблюдались отдельные точки накопления, а не сплошное распределение.

Эксперимент был предложен Отто Штерном в 1921 году и впервые успешно реализован совместно с Вальтером Герлахом в начале 1922 года.

Описание

Эксперимент Стерна — Герлаха заключается в направлении атомов серебра через неоднородное магнитное поле и наблюдении за их отклонением. Атомы серебра испарялись в электрической печи в вакууме. С помощью узких щелей атомы формировались в плоский пучок, который перед столкновением с металлической пластиной пропускался через неоднородное магнитное поле. Законы классической физики предсказывают, что скопление конденсированных атомов серебра на пластине должно образовать тонкую сплошную линию, повторяющую форму исходного пучка. Однако неоднородное магнитное поле привело к расщеплению пучка на два отдельных направления, образовав две линии на металлической пластине. Результаты показали, что частицы обладают внутренним угловым моментом, тесно аналогичным угловому моменту классически вращающегося объекта, но принимающим лишь определенные квантованные значения. Другой важный результат заключается в том, что одновременно можно измерить только одну компоненту спина частицы, что означает, что измерение спина вдоль оси z уничтожает информацию о спине частицы вдоль осей x и y. Обычно эксперимент проводится с использованием электрически нейтральных частиц, таких как атомы серебра. Это позволяет избежать значительного отклонения траектории заряженной частицы в магнитном поле и обеспечивает доминирование спин-зависимых эффектов. Если рассматривать частицу как классический вращающийся магнитный диполь, она будет прецессировать в магнитном поле из-за крутящего момента, который поле оказывает на диполь (см. прецессию, вызванную крутящим моментом). При движении через однородное магнитное поле силы, действующие на противоположные концы диполя, компенсируют друг друга, и траектория частицы не изменяется. Однако, если магнитное поле неоднородно, сила на одном конце диполя будет немного больше противодействующей силы на другом конце, создавая результирующую силу, отклоняющую траекторию частицы. Если бы частицы были классическими вращающимися объектами, можно было бы ожидать случайное и непрерывное распределение векторов их углового момента. Каждая частица отклонялась бы на величину, пропорциональную скалярному произведению ее магнитного момента и градиента внешнего поля, формируя некоторое распределение плотности на экране детектора. Вместо этого частицы, проходящие через установку Стерна — Герлаха, отклоняются либо вверх, либо вниз на определенную величину. Это было измерение квантовой наблюдаемой, известной как спиновый угловой момент, которое продемонстрировало возможные исходы измерения, когда наблюдаемая имеет дискретный набор значений или линейчатый спектр. Хотя некоторые дискретные квантовые явления, такие как атомные спектры, наблюдались и ранее, эксперимент Стерна — Герлаха позволил ученым впервые в истории науки непосредственно наблюдать разделение между дискретными квантовыми состояниями. Теоретически, квантовый угловой момент любого типа имеет дискретный спектр, который иногда кратко выражают как «угловой момент квантован».

The Stern–Gerlach experiment involves sending silver atoms through an inhomogeneous magnetic field and observing their deflection. Silver atoms were evaporated using an electric furnace in a vacuum. Using thin slits, the atoms were guided into a flat beam and the beam sent through an inhomogeneous magnetic field before colliding with a metallic plate. The laws of classical physics predict that the collection of condensed silver atoms on the plate should form a thin solid line in the same shape as the original beam. However, the inhomogeneous magnetic field caused the beam to split in two separate directions, creating two lines on the metallic plate. The results show that particles possess an intrinsic angular momentum that is closely analogous to the angular momentum of a classically spinning object, but that takes only certain quantized values. Another important result is that only one component of a particle's spin can be measured at one time, meaning that the measurement of the spin along the z axis destroys information about a particle's spin along the x and y axis. The experiment is normally conducted using electrically neutral particles such as silver atoms. This avoids the large deflection in the path of a charged particle moving through a magnetic field and allows spin dependent effects to dominate. If the particle is treated as a classical spinning magnetic dipole, it will precess in a magnetic field because of the torque that the magnetic field exerts on the dipole (see torque induced precession). If it moves through a homogeneous magnetic field, the forces exerted on opposite ends of the dipole cancel each other out and the trajectory of the particle is unaffected. However, if the magnetic field is inhomogeneous then the force on one end of the dipole will be slightly greater than the opposing force on the other end, so that there is a net force which deflects the particle's trajectory. If the particles were classical spinning objects, one would expect the distribution of their spin angular momentum vectors to be random and continuous. Each particle would be deflected by an amount proportional to the dot product of its magnetic moment with the external field gradient, producing some density distribution on the detector screen. Instead, the particles passing through the Stern–Gerlach apparatus are deflected either up or down by a specific amount. This was a measurement of the quantum observable now known as spin angular momentum, which demonstrated possible outcomes of a measurement where the observable has a discrete set of values or point spectrum. Although some discrete quantum phenomena, such as atomic spectra, were observed much earlier, the Stern–Gerlach experiment allowed scientists to directly observe separation between discrete quantum states for the first time in the history of science. Theoretically, quantum angular momentum of any kind has a discrete spectrum, which is sometimes briefly expressed as "angular momentum is quantized".

Эксперимент с использованием частиц с + или - спином

Если эксперимент проводится с использованием заряженных частиц, таких как электроны, возникает сила Лоренца, которая стремится искривить траекторию по окружности. Эту силу можно компенсировать электрическим полем соответствующей величины, ориентированным перпендикулярно траектории заряженной частицы. Электроны являются частицами со спином 1/2. Они имеют только два возможных значения углового момента спина, измеряемых вдоль любой оси: +ħ/2 или -ħ/2 – чисто квантово-механическое явление. Поскольку его значение всегда постоянно, оно рассматривается как внутреннее свойство электронов и иногда называется «собственным угловым моментом» (в отличие от орбитального углового момента, который может изменяться и зависит от присутствия других частиц). Если измерять спин вдоль вертикальной оси, электроны описываются как «спин вверх» или «спин вниз» в зависимости от того, магнитный момент направлен вверх или вниз соответственно. Для математического описания эксперимента со спиновыми частицами удобнее всего использовать обозначения Дирака. Когда частицы проходят через устройство Штерна — Герлаха, они отклоняются вверх или вниз и регистрируются детектором, который определяет, соответствует ли их состояние «спин вверх» или «спин вниз». Они описываются квантовым числом углового момента, которое может принимать одно из двух возможных допустимых значений: +1/2 или -1/2. Акт наблюдения (измерения) компоненты углового момента вдоль оси z соответствует оператору. В математических терминах начальное состояние частиц можно записать как:

где константы α и β – комплексные числа. Этот начальный спин может быть направлен в любом направлении. Квадраты модулей |α|² и |β|² определяют вероятности того, что для системы в начальном состоянии после измерения будет получено одно из двух возможных значений +1/2 или -1/2. Константы α и β также должны быть нормированы таким образом, чтобы вероятность получения одного из этих значений была равна единице, то есть необходимо обеспечить выполнение условия: |α|² + |β|² = 1. Однако, этой информации недостаточно для определения значений α и β, поскольку они являются комплексными числами. Следовательно, измерение дает только квадраты модулей констант, которые интерпретируются как вероятности.

Последовательные эксперименты

Если мы соединим несколько аппаратов Штерна — Герлаха (прямоугольники, содержащие S G), становится очевидно, что они не действуют как простые селекторы, то есть не отфильтровывают частицы, находящиеся в одном из состояний (существовавших до измерения), блокируя остальные. Вместо этого они изменяют состояние, осуществляя наблюдение (как в случае поляризации света). На рисунке ниже x и z обозначают направления (неоднородного) магнитного поля, а плоскость xz ортогональна пучку частиц. В трех системах Штерна — Герлаха, показанных ниже, квадраты с перекрестной штриховкой обозначают блокировку соответствующего выхода, то есть каждая система Штерна — Герлаха с блокировкой пропускает к следующему аппарату Штерна — Герлаха в последовательности только частицы, находящиеся в одном из двух состояний.

Эксперимент 1

На верхнем рисунке показано, что при размещении второго идентичного аппарата S G на выходе первого аппарата, в выходном потоке второго аппарата наблюдаются только нейтроны с z+. Этот результат ожидаем, поскольку все нейтроны в этой точке должны иметь спин z+, так как во второй аппарат попадал только луч z+ из первого аппарата.

Эксперимент 2

Средняя система показывает, что происходит, когда другой SG-аппарат помещается на выходе луча z+, полученного из первого аппарата, а второй аппарат измеряет отклонение лучей по оси x вместо оси z. Второй аппарат формирует выходы x+ и x-. Классически можно было бы ожидать один луч с характеристикой x, ориентированной в направлении + и характеристикой z, ориентированной в направлении +, и другой луч с характеристикой x, ориентированной в направлении - и характеристикой z, ориентированной в направлении +. Это описывало электроны, движущиеся вокруг положительно заряженного ядра только по определенным дискретным атомным орбиталям или энергетическим уровням. Поскольку электрон был квантован и мог находиться только в определенных положениях в пространстве, разделение на отдельные орбиты называлось пространственной квантизацией. Эксперимент Штерна — Герлаха был предназначен для проверки гипотезы Бора — Зоммерфельда о том, что направление углового момента атома серебра квантовано. Эксперимент был впервые проведен с использованием электромагнита, который позволял постепенно увеличивать неоднородное магнитное поле от нулевого значения. В середине, где магнитное поле было достаточно сильным, чтобы разделить луч на две компоненты, статистически половина атомов серебра отклонялась неоднородностью поля. Важно отметить, что эксперимент был выполнен за несколько лет до того, как Джордж Уленбек и Сэмюэл Годсмит сформулировали свою гипотезу о существовании спина электрона в 1925 году. Хотя результат эксперимента Штерна — Герлаха впоследствии оказался в согласии с предсказаниями квантовой механики для частицы со спином 1/2, экспериментальный результат также соответствовал теории Бора — Зоммерфельда. В 1927 году Т. Э. Фиппс и Дж. Б. Тейлор воспроизвели эффект, используя атомы водорода в основном состоянии, тем самым устранив любые сомнения, которые могли быть вызваны использованием атомов серебра. Однако в 1926 году нерелятивистское скалярное уравнение Шрёдингера ошибочно предсказало, что магнитный момент водорода равен нулю в основном состоянии. Чтобы исправить эту проблему, Вольфганг Паули рассмотрел версию уравнения Шрёдингера со спином 1/2, используя 3 матрицы Паули, которые теперь носят его имя, что позже было показано Полем Дираком в 1928 году как следствие его релятивистского уравнения Дирака. В начале 1930-х годов Штерн вместе с Отто Робертом Фришем и Имманюэлем Эстерманом усовершенствовали молекулярный пучок, чтобы измерить магнитный момент протона, значение которого примерно в 2000 раз меньше электронного момента. В 1931 году теоретический анализ Грегори Брейта и Исидора Исаака Раби показал, что этот аппарат можно использовать для измерения ядерного спина, когда известна электронная конфигурация атома. Раби и Виктор В. Коэн применили эту концепцию в 1934 году для определения спина атомов Na. В 1938 году Раби и его коллеги встроили в свой аппарат осциллирующее магнитное поле, изобретя спектроскопию ядерного магнитного резонанса. Настраивая частоту осциллятора на частоту ядерной прецессии, они могли избирательно настраиваться на каждый квантовый уровень исследуемого материала. За эту работу Раби был удостоен Нобелевской премии в 1944 году.

The middle system shows what happens when a different S G apparatus is placed at the exit of the z+ beam resulting of the first apparatus, the second apparatus measuring the deflection of the beams on the x axis instead of the z axis. The second apparatus produces x+ and x outputs. Now classically we would expect to have one beam with the x characteristic oriented + and the z characteristic oriented +, and another with the x characteristic oriented and the z characteristic oriented +. which described electrons as going around the positively charged nucleus only in certain discrete atomic orbitals or energy levels. Since the electron was quantized to be only in certain positions in space, the separation into distinct orbits was referred to as space quantization. The Stern–Gerlach experiment was meant to test the Bohr–Sommerfeld hypothesis that the direction of the angular momentum of a silver atom is quantized. The experiment was first performed with an electromagnet that allowed the non uniform magnetic field to be turned on gradually from a null value. In the middle, where the magnetic field was strong enough to split the beam into two, statistically half of the silver atoms had been deflected by the non uniformity of the field. Note that the experiment was performed several years before George Uhlenbeck and Samuel Goudsmit formulated their hypothesis about the existence of electron spin in 1925. Even though the result of the Stern−Gerlach experiment has later turned out to be in agreement with the predictions of quantum mechanics for a spin 1/2 particle, the experimental result was also consistent with the Bohr–Sommerfeld theory. In 1927, T. E. Phipps and J. B. Taylor reproduced the effect using hydrogen atoms in their ground state, thereby eliminating any doubts that may have been caused by the use of silver atoms. However, in 1926 the non relativistic scalar Schrödinger equation had incorrectly predicted the magnetic moment of hydrogen to be zero in its ground state. To correct this problem Wolfgang Pauli considered a spin 1/2 version of the Schrödinger equation using the 3 Pauli matrices which now bear his name, which was later shown by Paul Dirac in 1928 to be a consequence of his relativistic Dirac equation. In the early 1930's Stern, together with Otto Robert Frisch and Immanuel Estermann improved the molecular beam apparatus sufficient to measure the magnet moment of the proton, a value nearly 2000 times smaller than the electron moment. In 1931, theoretical analysis by Gregory Breit and Isidor Isaac Rabi showed that this apparatus could be used to measure nuclear spin whenever the electronic configuration of the atom was known. The concept was applied by Rabi and Victor W. Cohen in 1934 to determine the spin of Na atoms. In 1938 Rabi and coworkers inserted an oscillating magnetic field element into their apparatus, inventing nuclear magnetic resonance spectroscopy. By tuning the frequency of the oscillator to the frequency of the nuclear precessions they could selectively tune into each quantum level of the material under study. Rabi was awarded the Nobel Prize in 1944 for this work.