Введение

В алгебре конечно порождённая группа — это группа G, обладающая некоторым конечным порождающим множеством S, таким что каждый элемент G может быть представлен как комбинация (относительно групповой операции) конечного числа элементов из S и обратных им элементов. По определению, любая конечная группа конечно порождена, поскольку в качестве S можно взять саму G. Любая бесконечная конечно порождённая группа должна быть счётной, но счётные группы не обязаны быть конечно порождёнными. Аддитивная группа рациональных чисел Q является примером счётной группы, которая не является конечно порождённой.

Примеры

Каждый фактор-группа конечно порожденной группы G является конечно порожденной; фактор-группа порождается образами порождающих элементов G при каноническом проецировании. Группа, порожденная одним элементом, называется циклической. Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел Z. Локально циклическая группа — это группа, в которой каждая конечно порожденная подгруппа является циклической. Свободная группа с конечным множеством конечно порождается элементами этого множества (§Примеры). А следовательно, каждая конечно представленная группа (§Примеры) конечно порождена.

Окончательно сгенерированные абелевы группы

Каждую абелеву группу можно рассматривать как модуль над кольцом целых чисел Z, а в конечно порожденной абелевой группе с генераторами x1, ..., xn, каждый элемент группы x может быть записан как линейная комбинация этих генераторов:
x = α1⋅x1 + α2⋅x2 + ... + αn⋅xn
где α1, ..., αn – целые числа. Подгруппы конечно порожденной абелевой группы сами являются конечно порожденными. Фундаментальная теорема о конечно порожденных абелевых группах утверждает, что конечно порожденная абелева группа является прямой суммой свободной абелевой группы конечного ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых определена с точностью до изоморфизма.

Подгруппы

Подгруппа конечно порожденной группы не обязана быть конечно порожденной. Коммутаторная подгруппа свободной группы на двух образующих является примером подгруппы конечно порожденной группы, которая не является конечно порожденной. С другой стороны, все подгруппы конечно порожденной абелевой группы являются конечно порожденными. Подгруппа конечного индекса в конечно порожденной группе всегда конечно порождена, и формула индекса Шрайера дает оценку на число необходимых образующих. В 1954 году Альберт Г. Хаусон показал, что пересечение двух конечно порожденных подгрупп свободной группы снова является конечно порожденным. Более того, если *m* и *n* – числа образующих двух конечно порожденных подгрупп, то их пересечение порождается не более чем *m + n - 1* образующими. Эта верхняя оценка была затем значительно улучшена Ханной Нойманн до *m + n - 2*; см. гипотезу Ханны Нойманн. Решетка подгрупп группы удовлетворяет условию восходящей цепи тогда и только тогда, когда все подгруппы группы конечно порождены. Группа, в которой все ее подгруппы конечно порождены, называется ноэтерианской. Группа, в которой каждая конечно порожденная подгруппа является конечной, называется локально конечной. Каждая локально конечная группа является периодической, то есть каждый элемент имеет конечный порядок. Обратно, каждая периодическая абелева группа локально конечна.

Приложения

Теория геометрических групп изучает связи между алгебраическими свойствами конечно порожденных групп и топологическими и геометрическими свойствами пространств, на которых эти группы действуют.

Связанные понятия

Проблема слова для конечно порождённой группы — это задача принятия решения о том, представляют ли два слова в генераторах группы один и тот же элемент. Проблема слова для данной конечно порождённой группы разрешима тогда и только тогда, когда группа может быть вложена в любую алгебраически замкнутую группу. Ранг группы часто определяется как наименьшая мощность генерирующего множества для этой группы. По определению, ранг конечно порождённой группы конечен.