Р.Х. Бинг: Жизнь и вклад в топологию

Введение

Американский математик

Р. Х. Бинг (20 октября 1914 – 28 апреля 1986) – американский математик, работавший преимущественно в областях геометрической топологии и теории континуума. Его отца звали Руперт Генри, но мать Бинга считала имя "Руперт Генри" слишком английским для Техаса. Она пошла на компромисс, сократив его до Р. Х. Таким образом, Р. Х. не является сокращением от имени или отчества.

Математические вклады

Математические исследования Бинга были почти исключительно в области теории трехмерных многообразий и, в частности, в геометрической топологии. Термин «топология типа Бинга» был введен для описания стиля методов, используемых Бингом. Бинг зарекомендовал себя в начале 1946 года, вскоре после защиты диссертации на степень Ph.D., решив проблему характеризации сферы Клайна. В 1948 году он доказал, что псевдодуга гомеоморфна, что противоречило опубликованному, но ошибочному «доказательству» обратного утверждения. В 1951 году он доказал результаты, касающиеся метризуемости топологических пространств, включая то, что впоследствии стало известно как теорема метризации Бинга — Нагаты — Смирнова. В 1952 году Бинг показал, что двойное отображение твердой сферы с рогами Александра является трехмерной сферой. Это продемонстрировало существование инволюции на трехмерной сфере, фиксированное множество которой представляет собой дико вложенную двумерную сферу, что означало, что первоначальную гипотезу Смита необходимо сформулировать в подходящей категории. Этот результат также стимулировал исследования скомканных кубов. Доказательство включало метод, который Бинг и другие впоследствии развили в набор техник, известных как сжатие Бинга. Доказательства обобщенной гипотезы Шенфлиса и теоремы о двойной суспензии опирались на сжатие типа Бинга. Бинг был увлечен гипотезой Пуанкаре и предпринял несколько серьезных попыток ее решения, которые оказались безуспешными, что способствовало репутации гипотезы как исключительно сложной. Он показал, что односвязное, замкнутое трехмерное многообразие, обладающее свойством, что каждая петля содержится в трехмерном шаре, гомеоморфно трехмерной сфере. Бинг инициировал исследования гипотезы P, а также предложил ее название, как потенциально более доступную версию гипотезы Пуанкаре. Она была доказана в 2004 году как итог работ в различных областях математики. Иронично, но это доказательство было объявлено спустя некоторое время после того, как Григорий Перельман объявил о доказательстве гипотезы Пуанкаре. Теорема о боковой аппроксимации считалась Бингом одним из его ключевых открытий. Она имеет множество применений, включая упрощенное доказательство теоремы Мойса, утверждающей, что любое трехмерное многообразие может быть триангулировано единственным образом (с точностью до изоморфизма).

Bing's mathematical research was almost exclusively in 3 manifold theory and in particular, the geometric topology of The term Bing type topology was coined to describe the style of methods used by Bing. Bing established his reputation early on in 1946, soon after completing his Ph. D. dissertation, by solving the Kline sphere characterization problem. In 1948 he proved that the pseudo arc is homogeneous, contradicting a published but erroneous 'proof' to the contrary. In 1951, he proved results regarding the metrizability of topological spaces, including what would later be called the Bing–Nagata–Smirnov metrization theorem. In 1952, Bing showed that the double of a solid Alexander horned sphere was the 3 sphere. This showed the existence of an involution on the 3 sphere with fixed point set equal to a wildly embedded 2 sphere, which meant that the original Smith conjecture needed to be phrased in a suitable category. This result also jump started research into crumpled cubes. The proof involved a method later developed by Bing and others into set of techniques called Bing shrinking. Proofs of the generalized Schoenflies conjecture and the double suspension theorem relied on Bing type shrinking. Bing was fascinated by the Poincaré conjecture and made several major attacks which ended unsuccessfully, contributing to the reputation of the conjecture as a very difficult one. He did show that a simply connected, closed 3 manifold with the property that every loop was contained in a 3 ball is homeomorphic to the 3 sphere. Bing was responsible for initiating research into the Property P conjecture, as well as its name, as a potentially more tractable version of the Poincaré conjecture. It was proven in 2004 as a culmination of work from several areas of mathematics. With some irony, this proof was announced some time after Grigori Perelman announced his proof of the Poincaré conjecture. The side approximation theorem was considered by Bing to be one of his key discoveries. It has many applications, including a simplified proof of Moise's theorem, which states that every 3 manifold can be triangulated in an essentially unique way.

Дом с двумя комнатами

Дом с двумя комнатами — это стягиваемый комплекс, который не является сжимаемым. Другой пример, популяризированный Э. Ц. Зееманом, — колпак дурака. Дом с двумя комнатами также можно утолщить, а затем триангулировать, чтобы он стал несферизуемым, несмотря на то, что утолщенный дом топологически является 3-шаром. Дом с двумя комнатами встречается в топологии в различных контекстах. Например, он используется в доказательстве того, что любое компактное 3-многообразие имеет стандартный остов.

Пространство для собачьих костей

Пространство «собачьей кости» — это факторпространство, полученное из клеточного разложения плоскости на точки и полигональные дуги. Факторпространство, , не является многообразием, но гомеоморфно к ℝ².

Служебные и образовательные взносы

Бинг был приглашенным ученым в Институте перспективных исследований в 1957–58 и вновь в 1962–63 годах. Бинг занимал должность президента MAA (1963–1964), президента AMS (1977–78), а также был заведующим кафедрой в Университете Висконсина, Мэдисон (1958–1960), и в Университете Техаса в Остине (1975–1977). До поступления в аспирантуру для изучения математики Бинг окончил Юго-Западный техасский государственный педагогический колледж (ныне Техасский государственный университет) и несколько лет работал учителем в средней школе. Его интерес к образованию сохранялся на протяжении всей его жизни.

Что значит R.H.?

Как упоминалось во введении, отца Бинга звали Руперт Генри, но мать Бинга считала, что "Руперт Генри" звучит слишком по-британски для Техаса. Поэтому она пошла на компромисс, сократив имя до R. H.

Рассказывают, что однажды Бинг подавал заявление на визу, и его попросили не использовать инициалы. Он объяснил, что его полное имя – "R only H only Bing", и в итоге получил визу, оформленную на имя "Ronly Honly Bing".