Введение
В математике, гомоморфизм Черна — Вейля — это фундаментальное построение в теории Черна — Вейля, которое вычисляет топологические инварианты векторных расслоений и главных расслоений на гладком многообразии M в терминах связностей и кривизны, представляющих классы в кольцах когомологий де Рама M. Таким образом, эта теория является мостом между областями алгебраической топологии и дифференциальной геометрии. Она была разработана в конце 1940-х годов Шиингом Шеном Черном и Андре Вейлем, вслед за доказательствами обобщённой теоремы Гаусса — Бонне. Эта теория стала важным шагом в теории характеристических классов. Пусть G — вещественная или комплексная группа Ли с алгеброй Ли , и пусть обозначает алгебру полиномов со значениями в (тот же аргумент верен, если мы использовали вместо ). Пусть будет субалгеброй неподвижных точек в под действием сопряжения группы G; то есть, субалгеброй, состоящей из всех полиномов f таких, что , для всех g из G и x из .
Given a principal G bundle P on M, there is an associated homomorphism of algebras,
,
called the Chern–Weil homomorphism, where on the right cohomology is de Rham cohomology. This homomorphism is obtained by taking invariant polynomials in the curvature of any connection on the given bundle. If G is either compact or semi simple, then the cohomology ring of the classifying space for G bundles, , is isomorphic to the algebra of invariant polynomials:
(The cohomology ring of BG can still be given in the de Rham sense:
when and are manifolds.)
Для заданного главного G-расслоения P на M существует соответствующий гомоморфизм алгебр, , называемый гомоморфизмом Черна — Вейля, где справа стоит когомология де Рама. Этот гомоморфизм получается путём взятия инвариантных полиномов от кривизны любой связности на заданном расслоении. Если G является компактной или полупростой группой, то кольцо когомологий классифицирующего пространства для G-расслоений, , изоморфно алгебре инвариантных полиномов:
Given a principal G bundle P on M, there is an associated homomorphism of algebras,
,
called the Chern–Weil homomorphism, where on the right cohomology is de Rham cohomology. This homomorphism is obtained by taking invariant polynomials in the curvature of any connection on the given bundle. If G is either compact or semi simple, then the cohomology ring of the classifying space for G bundles, , is isomorphic to the algebra of invariant polynomials:
(The cohomology ring of BG can still be given in the de Rham sense:
when and are manifolds.)
(Кольцо когомологий BG всё ещё может быть задано в смысле де Рама: когда и — многообразия.)
Given a principal G bundle P on M, there is an associated homomorphism of algebras,
,
called the Chern–Weil homomorphism, where on the right cohomology is de Rham cohomology. This homomorphism is obtained by taking invariant polynomials in the curvature of any connection on the given bundle. If G is either compact or semi simple, then the cohomology ring of the classifying space for G bundles, , is isomorphic to the algebra of invariant polynomials:
(The cohomology ring of BG can still be given in the de Rham sense:
when and are manifolds.)
Гомоморфизм для голоморфных векторных пучков
Пусть E — голоморфный (комплексный) векторный расслоение на комплексном многообразии M. Форма кривизны E, относительно некоторой эрмитовой метрики, является не просто 2-формой, а фактически (1, 1)-формой (см. Голоморфный векторный расслоение# Эрмитовы метрики на голоморфном векторном расслоении). Следовательно, гомоморфизм Черна — Вейля принимает вид: с ,