Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая концепция
Mathematical concept
В математике плоская кривая — это кривая на плоскости, которая может быть евклидовой, аффинной или проективной плоскостью. Наиболее часто изучаются гладкие плоские кривые (включая кусочно-гладкие плоские кривые) и алгебраические плоские кривые. К плоским кривым также относятся кривые Жордана (кривые, которые ограничивают область на плоскости, но не обязательно гладкие) и графики непрерывных функций.
In mathematics, a plane curve is a curve in a plane that may be a Euclidean plane, an affine plane or a projective plane. The most frequently studied cases are smooth plane curves (including piecewise smooth plane curves), and algebraic plane curves. Plane curves also include the Jordan curves (curves that enclose a region of the plane but need not be smooth) and the graphs of continuous functions.
Символическое представление
Плоская кривая часто может быть представлена в декартовых координатах неявным уравнением вида для некоторой конкретной функции f. Если это уравнение можно явно решить относительно y или x – то есть переписать в виде или для конкретных функций g или h – то это дает альтернативное, явное представление. Плоская кривая также часто может быть представлена в декартовых координатах параметрическим уравнением вида для конкретных функций x(t) и y(t).
A plane curve can often be represented in Cartesian coordinates by an implicit equation of the form for some specific function f. If this equation can be solved explicitly for y or x – that is, rewritten as or for specific function g or h – then this provides an alternative, explicit, form of the representation. A plane curve can also often be represented in Cartesian coordinates by a parametric equation of the form for specific functions and
Плоские кривые иногда также могут быть представлены в альтернативных системах координат, таких как полярные координаты, которые выражают положение каждой точки через угол и расстояние от начала координат.
Plane curves can sometimes also be represented in alternative coordinate systems, such as polar coordinates that express the location of each point in terms of an angle and a distance from the origin.
Гладкая плоская кривая
Гладкая плоская кривая — это кривая в реальной евклидовой плоскости \R^2, являющаяся одномерным гладким многообразием. Это означает, что гладкая плоская кривая — это плоская кривая, которая "локально выглядит как прямая", в том смысле, что в окрестности каждой точки её можно отобразить на прямую с помощью гладкой функции. Эквивалентно, гладкую плоскую кривую локально можно задать уравнением, где f: \R^2 \to \R — гладкая функция, а частные производные \partial f/\partial x и \partial f/\partial y ни в одной точке кривой одновременно не равны нулю.
A smooth plane curve is a curve in a real Euclidean plane \R^2 and is a one dimensional smooth manifold. This means that a smooth plane curve is a plane curve which "locally looks like a line", in the sense that near every point, it may be mapped to a line by a smooth function. Equivalently, a smooth plane curve can be given locally by an equation where f: \R^2 \to \R is a smooth function, and the partial derivatives \partial f/\partial x and \partial f/\partial y are never both 0 at a point of the curve.
Алгебраическая плоская кривая
Алгебраическая плоская кривая — это кривая в аффинной или проективной плоскости, заданная одним полиномиальным уравнением (или, где F — однородный полином в проективном случае). Алгебраические кривые интенсивно изучались с XVIII века. Каждая алгебраическая плоская кривая имеет степень, равную степени определяющего уравнения, которая, в случае алгебраически замкнутого поля, равна числу точек пересечения кривой с прямой в общем положении. Например, окружность, заданная уравнением , имеет степень 2. Несингулярные плоские алгебраические кривые степени 2 называются коническими сечениями, а их проективные завершения все изоморфны проективному завершению окружности (то есть проективной кривой уравнения ). Плоские кривые степени 3 называются кубическими плоскими кривыми, а если они несингулярны, то эллиптическими кривыми. Кривые степени 4 называются квартичными плоскими кривыми.
An algebraic plane curve is a curve in an affine or projective plane given by one polynomial equation (or where F is a homogeneous polynomial, in the projective case.) Algebraic curves have been studied extensively since the 18th century. Every algebraic plane curve has a degree, the degree of the defining equation, which is equal, in case of an algebraically closed field, to the number of intersections of the curve with a line in general position. For example, the circle given by the equation has degree 2. The non singular plane algebraic curves of degree 2 are called conic sections, and their projective completion are all isomorphic to the projective completion of the circle (that is the projective curve of equation ). The plane curves of degree 3 are called cubic plane curves and, if they are non singular, elliptic curves. Those of degree 4 are called quartic plane curves.