Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Когда отображение, индуцирующее изоморфизмы на всех гомотопических группах, является гомотопным эквивалентом.
When a mapping that induces isomorphisms on all homotopy groups is a homotopy equivalence
В теории гомотопий (область математики) теорема Уайтхеда утверждает, что если непрерывное отображение f между CW-комплексами X и Y индуцирует изоморфизмы на всех гомотопических группах, то f является гомотопным эквивалентом. Этот результат был доказан Дж. Х. К. Уайтхедом в двух основополагающих работах 1949 года и служит обоснованием для работы с концепцией CW-комплекса, которую он там ввёл. Это модельный результат алгебраической топологии, в котором поведение определённых алгебраических инвариантов (в данном случае, гомотопических групп) определяет топологическое свойство отображения.
In homotopy theory (a branch of mathematics), the Whitehead theorem states that if a continuous mapping f between CW complexes X and Y induces isomorphisms on all homotopy groups, then f is a homotopy equivalence. This result was proved by J. H. C. Whitehead in two landmark papers from 1949, and provides a justification for working with the concept of a CW complex that he introduced there. It is a model result of algebraic topology, in which the behavior of certain algebraic invariants (in this case, homotopy groups) determines a topological property of a mapping.
Пространства с изморфными гомотопными группами могут не быть эквивалентными гомотопным
Предупреждение: недостаточно предполагать, что πn(X) изоморфно πn(Y) для каждого n, чтобы заключить, что X и Y гомотопически эквивалентны. Требуется карта f : X → Y, индуцирующая изоморфизм на гомотопических группах. Например, пусть X= S2 × RP3 и Y= RP2 × S3. Тогда X и Y имеют одну и ту же фундаментальную группу, а именно циклическую группу Z/2, и одно и то же универсальное накрытие, а именно S2 × S3; таким образом, их гомотопические группы изоморфны. С другой стороны, их группы гомологий различны (что следует из формулы Кюннета); следовательно, X и Y не гомотопически эквивалентны. Теорема Уайтхеда не верна для общих топологических пространств и даже не для всех подпространств Rn. Например, Варшавский круг, компактное подмножество плоскости, имеет все гомотопические группы равными нулю, но отображение Варшавского круга в точку не является гомотопической эквивалентностью. Изучение возможных обобщений теоремы Уайтхеда на более общие пространства является частью теории форм.
A word of caution: it is not enough to assume πn(X) is isomorphic to πn(Y) for each n in order to conclude that X and Y are homotopy equivalent. One really needs a map f : X → Y inducing an isomorphism on homotopy groups. For instance, take X= S2 × RP3 and Y= RP2 × S3. Then X and Y have the same fundamental group, namely the cyclic group Z/2, and the same universal cover, namely S2 × S3; thus, they have isomorphic homotopy groups. On the other hand their homology groups are different (as can be seen from the Künneth formula); thus, X and Y are not homotopy equivalent. The Whitehead theorem does not hold for general topological spaces or even for all subspaces of Rn. For example, the Warsaw circle, a compact subset of the plane, has all homotopy groups zero, but the map from the Warsaw circle to a single point is not a homotopy equivalence. The study of possible generalizations of Whitehead's theorem to more general spaces is part of the subject of shape theory.
Обобщение к категориям моделей
В любой категории моделей слабая эквивалентность между кофибрантными фибрантными объектами является гомотопической эквивалентностью.
In any model category, a weak equivalence between cofibrant fibrant objects is a homotopy equivalence.