Введение

Точка с минимальной амплитудой волны

Узел — это точка вдоль стоячей волны, в которой амплитуда волны минимальна. Например, концы вибрирующей струны гитары являются узлами. Изменяя положение конечного узла при помощи ладов, гитарист изменяет эффективную длину вибрирующей струны и, следовательно, высоту играемой ноты. Противоположностью узла является антиузел — точка, в которой амплитуда стоячей волны достигает максимума. Антиузлы располагаются посередине между узлами.

Пояснение

Постоянные волны возникают, когда две синусоидальные волны одинаковой частоты движутся в противоположных направлениях в одном и том же пространстве и интерферируют друг с другом. Они возникают при отражении волн от границы, например, звуковых волн от стены или электромагнитных волн от конца линии передачи, и особенно когда волны ограничены резонатором в состоянии резонанса, отражаясь взад и вперед между двумя границами, как в органной трубе или на гитарной струне. В стоячей волне узлы – это ряд точек, расположенных на равных интервалах, где амплитуда (смещение) волны равна нулю (см. анимацию выше). В этих точках две волны складываются в противофазе и гасят друг друга. Они возникают через интервалы, равные половине длины волны (λ/2). Между каждой парой узлов находятся точки, где амплитуда максимальна. Они называются антиузлами. В этих точках две волны складываются в фазе и усиливают друг друга. Если амплитуды двух встречных волн не одинаковы, они не гасят друг друга полностью, поэтому амплитуда стоячей волны в узлах не равна нулю, а лишь достигает минимума. Это происходит при неполном отражении от границы. Это характеризуется конечным коэффициентом стоячей волны (КСВ), который представляет собой отношение амплитуды волны в антиузле к амплитуде в узле. При резонансе двухмерной поверхности или мембраны, такой как барабанная перепонка или вибрирующая металлическая пластина, узлы превращаются в узловые линии – линии на поверхности, где поверхность неподвижна, разделяющие поверхность на отдельные области, вибрирующие в противофазе. Их можно визуализировать, посыпав поверхность песком, и сложные узоры линий, которые при этом образуются, называются фигурами Хладни. В линиях передачи пик напряжения соответствует токовому минимуму, а пик тока – минимуму напряжения. Узлы – это точки нулевого смещения, а не точки пересечения двух составляющих волн.

Пограничные условия

Местоположение узлов относительно границы, отражающей волны, зависит от граничных условий. Хотя существует множество типов граничных условий, концы резонаторов обычно относятся к одному из двух типов, вызывающих полное отражение:

Фиксированная граница: Примерами такого типа границы являются точка крепления гитарной струны, закрытый конец трубы, например органной или духовой, периферия барабанной перепонки, линия передачи с закороченным концом или зеркала на концах лазерного резонатора. В этом случае амплитуда волны принудительно равна нулю на границе, поэтому на границе находится узел, а остальные узлы расположены на кратных половине длины волны от него: text = 0, λ/2, λ, 3λ/2, 2λ, …, nλ/2.

Свободная граница: Примерами этого типа являются открытые концы органных или духовых труб, концы вибрирующих резонаторных пластин в ксилофоне, глокеншпиле или камертоне, концы антенн или линия передачи с разомкнутым концом. В этом случае производная (наклон) амплитуды волны (в звуковых волнах – давление, в электромагнитных волнах – ток) принудительно равна нулю на границе. Следовательно, на границе находится максимум амплитуды (антинода), первый узел расположен на расстоянии четверти длины волны от конца, а остальные узлы находятся на интервалах, кратных половине длины волны оттуда: text = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, 7λ/4, …, (2n+1)λ/4.

Звук

Звуковая волна состоит из чередующихся циклов сжатия и расширения волновой среды. Во время сжатия молекулы среды сближаются, что приводит к увеличению давления и плотности. Во время расширения молекулы расходятся, что приводит к уменьшению давления и плотности. Количество узлов на определенной длине прямо пропорционально частоте волны. Иногда на гитаре, скрипке или другом струнном инструменте узлы используются для извлечения гармоник. Когда палец прижимает струну в определенной точке, не дожимая ее до лада, создается третий узел (в дополнение к порожку и подставке), и звучит гармоника. Во время обычной игры, при использовании ладов, гармоники всегда присутствуют, хотя и менее заметны. При использовании метода искусственного узла обертон звучит громче, а основной тон – тише. Если палец поместить в середину струны, будет слышен первый обертон, который на октаву выше основной ноты, которая прозвучала бы без гармоники. Когда два дополнительных узла делят струну на три части, возникает октава и чистая квинта (двенадцатая). Когда три дополнительных узла делят струну на четыре части, возникает двойная октава. Когда четыре дополнительных узла делят струну на пять частей, возникает двойная октава и большая терция (семнадцатая). Октава, большая терция и чистая квинта – это три ноты, составляющие мажорный аккорд. Характерный тембр, позволяющий слушателю идентифицировать конкретный инструмент, во многом определяется относительной амплитудой создаваемых им гармоник.

Волны в двух или трех измерениях

В двухмерных стоячих волнах узлы представляют собой кривые (часто прямые линии или окружности при отображении на простых геометрических формах). Например, песок собирается вдоль узлов вибрирующей пластины Хладни, указывая на области, где пластина не движется. В химии квантово-механические волны, или "орбитали", используются для описания волновых свойств электронов. Многие из этих квантовых волн также имеют узлы и пучности. Количество и положение этих узлов и пучностей определяют многие свойства атома или ковалентной связи. Атомные орбитали классифицируются по количеству радиальных и угловых узлов. Радиальный узел для атома водорода – это сфера, возникающая там, где волновая функция атомной орбитали равна нулю, а угловой узел – плоская плоскость. Молекулярные орбитали классифицируются по характеру связи. Молекулярные орбитали с пучностью между ядрами очень стабильны и известны как "связывающие орбитали", которые усиливают связь. Напротив, молекулярные орбитали с узлом между ядрами нестабильны из-за электростатического отталкивания и известны как "антисвязывающие орбитали", которые ослабляют связь. Другой подобный квантово-механический концепт – частица в ящике, где количество узлов волновой функции может помочь определить квантовое энергетическое состояние: отсутствие узлов соответствует основному состоянию, один узел – первому возбужденному состоянию и так далее. В общем случае, если расположить собственные состояния в порядке возрастания энергии, то собственные функции также будут упорядочены по возрастанию числа узлов; n-я собственная функция имеет n–1 узлов, между каждым из которых следующие собственные функции имеют по крайней мере один узел.