Введение
Прямая сумма неразложимых модулей
В математике, особенно в области абстрактной алгебры, известной как теория модулей, полупростой модуль или полностью приводимый модуль — это тип модуля, который можно легко понять по его составным частям. Кольцо, являющееся полупростым модулем над собой, известно как полупростое кольцо Артина. Некоторые важные кольца, такие как групповые кольца конечных групп над полями характеристики ноль, являются полупростыми кольцами. Артиново кольцо изначально рассматривается через его наибольший полупростой фактор. Структура полупростых колец Артина хорошо изучена теоремой Артина — Уэддерберна, которая представляет эти кольца как конечные прямые произведения матричных колец. Для аналога в теории групп этого понятия см. Полупростое представление.
In mathematics, especially in the area of abstract algebra known as module theory, a semisimple module or completely reducible module is a type of module that can be understood easily from its parts. A ring that is a semisimple module over itself is known as an Artinian semisimple ring. Some important rings, such as group rings of finite groups over fields of characteristic zero, are semisimple rings. An Artinian ring is initially understood via its largest semisimple quotient. The structure of Artinian semisimple rings is well understood by the Artin–Wedderburn theorem, which exhibits these rings as finite direct products of matrix rings. For a group theory analog of the same notion, see Semisimple representation.
Свойства
Если M полупростое, а N – подмодуль, то N и M/N также полупростые. Произвольная прямая сумма полупростых модулей полупроста. Модуль M конечно порожден и полупрост тогда и только тогда, когда он артиновский и его радикал равен нулю.
Кольца эндоморфизма
Полупростой модуль M над кольцом R также можно рассматривать как гомоморфизм кольца из R в кольцо эндоморфизмов M. Образ этого гомоморфизма является полупримитивным кольцом, и любое полупримитивное кольцо изоморфно такому образу. Кольцо эндоморфизмов полупростого модуля является не только полупримитивным, но и регулярным по фон Нейману.
Примеры
Для коммутативного кольца эквивалентны следующие четыре свойства: быть полупростым кольцом; быть артиновым и редуцированным; быть редуцированным нётеровым кольцом круллова размерности 0; и быть изоморфным конечному прямому произведению полей. Если K – поле, а G – конечная группа порядка n, то групповое кольцо K[G] является полупростым тогда и только тогда, когда характеристика K не делит n. Это теорема Машке, важный результат в теории представлений групп. Согласно теореме Веддерберна — Артина, унитальное кольцо R является полупростым тогда и только тогда, когда оно (изоморфно) Mn1(D1) × Mn2(D2) × … × Mnr(Dr), где каждое Di является кольцом делений, а каждое ni – положительное целое число, а Mn(D) обозначает кольцо n × n матриц с элементами из D. Примером полупростого неунитального кольца является M∞(K) – бесконечные матрицы над полем K, имеющие конечное число строк и столбцов.
An example of a semisimple non unital ring is M∞(K), the row finite, column finite, infinite matrices over a field K.
Джейкобсон полупростой
Кольцо называется полупростым Якобсона (или J-полупростым, или полупримитивным), если пересечение всех максимальных левых идеалов равно нулю, то есть если радикал Якобсона равен нулю. Каждое кольцо, которое является полупростым модулем над собой, имеет нулевой радикал Якобсона, но не каждое кольцо с нулевым радикалом Якобсона является полупростым модулем над собой. J-полупростое кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно является артиновым кольцом, поэтому полупростые кольца часто называют артиновыми полупростыми кольцами, чтобы избежать путаницы. Например, кольцо целых чисел, Z, является J-полупростым, но не артиновым полупростым.