Введение

Форма, образующаяся при отсечении угла политопа.

В геометрии фигура вершины, в широком смысле, — это фигура, которая обнажается при отсечении угла многогранника или политопа.

Определения

Возьмите угол или вершину многогранника. Отметьте точку на каждой смежной грани. Проведите линии по смежным граням, соединяя соседние точки вокруг грани. В результате эти линии образуют замкнутую цепь, то есть многоугольник, вокруг вершины. Этот многоугольник и есть фигура вершины. Более строгие формальные определения могут существенно различаться в зависимости от контекста. Например, Коксетер (например, 1948, 1954) меняет свое определение в зависимости от текущей темы обсуждения. Большинство последующих определений фигуры вершины в равной степени применимы к бесконечным покрытиям или, по аналогии, к заполнению пространства тесселяциями с политопными ячейками и другими многомерными политопами.

Как плоский кусочек

Сделайте срез через вершину многогранника, разрезая все ребра, соединенные с этой вершиной. Поверхность разреза является границей вершины (или фигурой вершины). Это, пожалуй, наиболее распространенный и легко понимаемый подход. Разные авторы делают срез в разных местах. Wenninger (2003) и Coxeter (1948) отсекают каждый отрезок ребра на единичном расстоянии от вершины. Для однородных многогранников конструкция Дормана Люка разрезает каждое соединенное ребро в его середине. Другие авторы проводят срез через вершину на другом конце каждого ребра. Для неправильного многогранника, отсечение всех ребер, инцидентных данной вершине, на равных расстояниях от вершины может привести к фигуре, не лежащей в одной плоскости. Более общий подход, применимый к любым выпуклым многогранникам, заключается в проведении разреза вдоль любой плоскости, отделяющей данную вершину от всех остальных, но в противном случае произвольной. Эта конструкция определяет комбинаторную структуру границы вершины, аналогичную набору связанных вершин (см. ниже), но не ее точную геометрию; ее можно обобщить на выпуклые политопы в любом измерении. Однако для невыпуклых многогранников может не существовать плоскости вблизи вершины, которая бы пересекала все грани, инцидентные этой вершине.

Как сферический многоугольник

Кромвель (1999) строит фигуру вершины, пересекая многогранник со сферой, центром которой является вершина, и радиус которой достаточно мал, чтобы сфера пересекала только рёбра и грани, прилегающие к этой вершине. Это можно представить как сферический срез или выемку, сделанную с центром в вершине. Получающаяся срезанная поверхность, или фигура вершины, представляет собой сферический многоугольник, отмеченный на этой сфере. Одним из преимуществ этого метода является то, что форма фигуры вершины фиксирована (с точностью до масштаба сферы), в то время как метод пересечения с плоскостью может давать различные формы в зависимости от угла наклона плоскости. Кроме того, этот метод применим и к невыпуклым многогранникам.

Как множество соединенных вершин

Многие комбинаторные и вычислительные подходы (например, Скиллинг, 1975) рассматривают вершинную фигуру как упорядоченное (или частично упорядоченное) множество точек всех соседних (соединенных ребром) вершин данной вершины.

Абстрактное определение

В теории абстрактных политопов фигура вершины в данной вершине V состоит из всех элементов, инцидентных этой вершине: рёбер, граней и т.д. Более формально это (n-1)-сечение Fn/V, где Fn — наибольшая грань. Этот набор элементов также известен как звезда вершины. Геометрическая фигура вершины и звезда вершины могут рассматриваться как различные реализации одного и того же абстрактного сечения.

Общие свойства

Фигура вершины n-политопа является (n-1)-политопом. Например, фигура вершины многогранника — это многоугольник, а фигура вершины 4-политопа — многогранник. В общем случае фигура вершины не обязана быть плоской. Для невыпуклых многогранников фигура вершины также может быть невыпуклой. Однородные политопы, например, могут иметь звездные многоугольники в качестве граней и/или фигур вершин.

Изогональные фигуры

Верхние фигуры особенно важны для однородных и других изогональных (вершинно-транзитивных) политопов, поскольку одна верхняя фигура может определить весь политоп. Для многогранников с правильными гранями верхняя фигура может быть представлена в вершинной конфигурации, путем перечисления граней в последовательности вокруг вершины. Например, 3.4.4.4 обозначает вершину с одним треугольником и тремя квадратами, и определяет однородный ромбикубооктаэдр. Если политоп изогонален, то верхняя фигура будет лежать в гиперплоскости n-мерного пространства.

Строительство Дорман Люк

Для однородного многогранника грань двойственного многогранника может быть получена из вершинной фигуры исходного многогранника с помощью построения Дормана Люка.

Регулярные политопы

Если политоп регулярный, он может быть представлен символом Шлефли, и ячейка, и фигура вершины могут быть тривиально получены из этой записи. В общем случае, регулярный политоп с символом Шлефли {a, b, c, …, y, z} имеет ячейки вида {a, b, c, …, y}, а фигуры вершин – вида {b, c, …, y, z}. Для регулярного многогранника {p, q} фигура вершины – это {q}-угольник. Например, фигура вершины куба {4, 3} – это треугольник {3}. Для регулярного 4-мерного политопа или заполняющей пространство тесселяции {p, q, r} фигура вершины – это {q, r}. Например, фигура вершины гиперкуба {4, 3, 3} – это правильный тетраэдр {3, 3}. Также фигура вершины кубической соты {4, 3, 4} – это правильный октаэдр {3, 4}. Поскольку двойственный политоп к регулярному политопу также является регулярным и представляется символом Шлефли с обратным порядком индексов, легко увидеть, что двойственная фигуре вершины является ячейкой двойственного политопа. Для регулярных многогранников это частный случай построения Дормана-Люка.

Пример фигуры вершины сотовой

Вершина фигуры усечённой кубической соты представляет собой неравномерную квадратную пирамиду. Один октаэдр и четыре усечённых куба сходятся в каждой вершине, образуя заполняющую пространство тесселяцию. Фигура вершины: неравномерная квадратная пирамида. Диаграмма Шлегеля. Перспектива. Создана из квадратного основания октаэдра (3.3.3.3) и четырех равнобедренных треугольных граней усечённых кубов (3.8.8).

Фигура на краю

В отношении вершинной фигуры, краевая фигура является вершинной фигурой вершинной фигуры. Краевые фигуры полезны для выражения связей между элементами в правильных и однородных политопах. Краевая фигура представляет собой (n-2)-мерный политоп, отображающий расположение граней вокруг заданного ребра. Правильные и однокольцевые однородные политопы, заданные диаграммой Коксетера, имеют единственный тип ребер. В общем случае, однородный политоп может иметь столько типов ребер, сколько активных зеркал в построении, поскольку каждое активное зеркало порождает одно ребро в фундаментальной области. Правильные политопы (и соты) имеют единственную краевую фигуру, которая также является правильной. Для правильного политопа {p,q,r,s,z}, краевая фигура имеет вид {r,s,z}. В четырех измерениях, краевая фигура 4-политопа или 3-сот имеет вид многоугольника, представляющего расположение набора граней вокруг ребра. Например, краевая фигура для правильных кубических сот {4,3,4} является квадратом, а для правильного 4-политопа {p,q,r} – многоугольником {r}. Менее тривиально, усечённые кубические соты t0,1{4,3,4} имеют пирамидальную вершинную фигуру, состоящую из усечённых кубов и октаэдров. Здесь существуют два типа краевых фигур. Один – квадратная фигура на вершине пирамиды, представляющая четыре усечённых куба вокруг ребра. Другие четыре краевые фигуры – равнобедренные треугольники на базовых вершинах пирамиды, представляющие расположение двух усечённых кубов и одного октаэдра вокруг остальных рёбер.