Moving wave that has oscillations perpendicular to the direction of the wave
В физике поперечная волна – это волна, которая колеблется перпендикулярно направлению своего распространения. В отличие от нее, продольная волна распространяется в направлении своих колебаний. Все волны переносят энергию из точки в точку, не перенося при этом вещество в среде распространения, если таковая имеется. Электромагнитные волны являются поперечными и не требуют среды для распространения. Определение "поперечная" указывает на то, что направление колебаний волны перпендикулярно смещению частиц среды, через которую она проходит, или, в случае электромагнитных волн, колебания перпендикулярны направлению распространения волны. Простым примером служат волны, которые можно создать на горизонтальном отрезке веревки, закрепив один конец и перемещая другой вверх и вниз. Другой пример – волны, возникающие на мембране барабана. Волны распространяются в направлениях, параллельных плоскости мембраны, но каждая точка мембраны смещается вверх и вниз, перпендикулярно этой плоскости. Свет – еще один пример поперечной волны, где колебания представляют собой электрические и магнитные поля, направленные под прямым углом к идеальным лучам света, описывающим направление распространения. Поперечные волны часто возникают в упругих твердых телах из-за возникающих сил сдвига; в этом случае колебания представляют собой смещение твердых частиц от положения равновесия в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Эти смещения соответствуют локальной деформации сдвига материала. Следовательно, поперечная волна такого типа называется волной сдвига. Поскольку жидкости не могут сопротивляться силам сдвига в состоянии покоя, распространение поперечных волн внутри жидкости невозможно. В сейсмологии волны сдвига также называют вторичными волнами или S-волнами. Поперечные волны противопоставляются продольным, где колебания происходят в направлении распространения волны. Типичным примером продольной волны является звуковая волна или "волна давления" в газах, жидкостях или твердых телах, колебания которой вызывают сжатие и расширение материала, через который волна распространяется. В геофизике волны давления называются "первичными волнами" или "P-волнами". Водные волны включают в себя как продольные, так и поперечные движения.
In physics, a transverse wave is a wave that oscillates perpendicularly to the direction of the wave's advance. In contrast, a longitudinal wave travels in the direction of its oscillations. All waves move energy from place to place without transporting the matter in the transmission medium if there is one. Electromagnetic waves are transverse without requiring a medium. The designation “transverse” indicates the direction of the wave is perpendicular to the displacement of the particles of the medium through which it passes, or in the case of EM waves, the oscillation is perpendicular to the direction of the wave. A simple example is given by the waves that can be created on a horizontal length of string by anchoring one end and moving the other end up and down. Another example is the waves that are created on the membrane of a drum. The waves propagate in directions that are parallel to the membrane plane, but each point in the membrane itself gets displaced up and down, perpendicular to that plane. Light is another example of a transverse wave, where the oscillations are the electric and magnetic fields, which point at right angles to the ideal light rays that describe the direction of propagation. Transverse waves commonly occur in elastic solids due to the shear stress generated; the oscillations in this case are the displacement of the solid particles away from their relaxed position, in directions perpendicular to the propagation of the wave. These displacements correspond to a local shear deformation of the material. Hence a transverse wave of this nature is called a shear wave. Since fluids cannot resist shear forces while at rest, propagation of transverse waves inside the bulk of fluids is not possible. In seismology, shear waves are also called secondary waves or S waves. Transverse waves are contrasted with longitudinal waves, where the oscillations occur in the direction of the wave. The standard example of a longitudinal wave is a sound wave or "pressure wave" in gases, liquids, or solids, whose oscillations cause compression and expansion of the material through which the wave is propagating. Pressure waves are called "primary waves", or "P waves" in geophysics. Water waves involve both longitudinal and transverse motions.
Математическая формулировка
Математически, самый простой тип поперечной волны — плоская линейно поляризованная синусоидальная. "Плоская" здесь означает, что направление распространения неизменно и одинаково во всей среде; "линейно поляризованная" означает, что направление смещения также неизменно и одинаково во всей среде; а величина смещения является синусоидальной функцией только времени и положения вдоль направления распространения. Движение такой волны может быть математически выражено следующим образом. Пусть **d** — направление распространения (вектор единичной длины), а **o** — любая точка отсчета в среде. Пусть **u** — направление колебаний (другой вектор единичной длины, перпендикулярный **d**). Перемещение частицы в любой точке **p** среды в любой момент времени *t* (секунды) будет
Mathematically, the simplest kind of transverse wave is a plane linearly polarized sinusoidal one. "Plane" here means that the direction of propagation is unchanging and the same over the whole medium; "linearly polarized" means that the direction of displacement too is unchanging and the same over the whole medium; and the magnitude of the displacement is a sinusoidal function only of time and of position along the direction of propagation. The motion of such a wave can be expressed mathematically as follows. Let d be the direction of propagation (a vector with unit length), and o any reference point in the medium. Let u be the direction of the oscillations (another unit length vector perpendicular to d). The displacement of a particle at any point p of the medium and any time t (seconds) will be
где *A* — амплитуда или сила волны, *T* — ее период, *v* — скорость распространения, а φ — ее фаза в точке **o**. Все эти параметры — действительные числа. Символ "•" обозначает скалярное произведение двух векторов. Из этого уравнения следует, что волна распространяется в направлении **d**, а колебания происходят взад и вперед вдоль направления **u**. Говорят, что волна линейно поляризована в направлении **u**. Наблюдатель, фиксирующий точку **p**, увидит, что частица в этой точке совершает простое гармоническое (синусоидальное) движение с периодом *T* секунд, с максимальным смещением частицы *A* в каждом направлении; то есть с частотой *f* = 1/*T* полных циклов колебаний в секунду. "Снимок" всех частиц в фиксированный момент времени *t* покажет одинаковое смещение для всех частиц на каждой плоскости, перпендикулярной **d**, причем смещения в последовательных плоскостях образуют синусоидальный узор, и каждый полный цикл простирается вдоль **d** на длину волны λ = *vT* = *v*/*f*. Весь узор движется в направлении **d** со скоростью *V*.
where A is the wave's amplitude or strength, T is its period, v is the speed of propagation, and φ is its phase at o. All these parameters are real numbers. The symbol "•" denotes the inner product of two vectors. By this equation, the wave travels in the direction d and the oscillations occur back and forth along the direction u. The wave is said to be linearly polarized in the direction u. An observer that looks at a fixed point p will see the particle there move in a simple harmonic (sinusoidal) motion with period T seconds, with maximum particle displacement A in each sense; that is, with a frequency of f = 1/T full oscillation cycles every second. A snapshot of all particles at a fixed time t will show the same displacement for all particles on each plane perpendicular to d, with the displacements in successive planes forming a sinusoidal pattern, with each full cycle extending along d by the wavelength λ = v T = v/f. The whole pattern moves in the direction d with speed V.
То же уравнение описывает плоскую линейно поляризованную синусоидальную световую волну, за исключением того, что "перемещение" *S*(*p*, *t*) представляет собой напряженность электрического поля в точке **p** в момент времени *t*. (Напряженность магнитного поля описывается тем же уравнением, но с направлением "перемещения", перпендикулярным как **d**, так и **u**, и другой амплитудой.)
The same equation describes a plane linearly polarized sinusoidal light wave, except that the "displacement" S(p, t) is the electric field at point p and time t. (The magnetic field will be described by the same equation, but with a "displacement" direction that is perpendicular to both d and u, and a different amplitude.)
Принцип суперпозиции
В однородной линейной среде сложные колебания (вибрации в материале или световые потоки) могут быть описаны как суперпозиция множества простых синусоидальных волн, поперечных или продольных. Например, колебания струны скрипки создают стоячие волны, которые можно анализировать как сумму множества поперечных волн различных частот, движущихся в противоположных направлениях, вызывающих смещение струны вверх или вниз, либо влево или вправо. Антиузлы волн образуют суперпозицию.
In a homogeneous linear medium, complex oscillations (vibrations in a material or light flows) can be described as the superposition of many simple sinusoidal waves, either transverse or longitudinal. The vibrations of a violin string create standing waves, for example, which can be analyzed as the sum of many transverse waves of different frequencies moving in opposite directions to each other, that displace the string either up or down or left to right. The antinodes of the waves align in a superposition .
Круговая поляризация
Если среда линейна и допускает несколько независимых направлений смещения для одного и того же направления распространения d, мы можем выбрать два взаимно перпендикулярных направления поляризации и представить любую волну, линейно поляризованную в любом другом направлении, как линейную комбинацию (суперпозицию) этих двух волн. Объединяя две волны с одинаковой частотой, скоростью и направлением распространения, но с разными фазами и независимыми направлениями смещения, мы получим циркулярно или эллиптически поляризованную волну. В такой волне частицы описывают круговые или эллиптические траектории, а не движутся вперед и назад. Для лучшего понимания может быть полезно вернуться к мысленному эксперименту с натянутой струной, упомянутому выше. Обратите внимание, что вы можете запускать волны на струне, перемещая руку вправо и влево, а не вверх и вниз. Это важный момент. Существует два независимых (ортогональных) направления, в которых могут распространяться волны. (Это верно для любых двух направлений, расположенных под прямым углом; направления вверх-вниз и вправо-влево выбраны для наглядности.) Любые волны, возбуждаемые движением руки по прямой линии, являются линейно поляризованными. А теперь представьте, что вы движете рукой по окружности. Ваше движение запустит спиральную волну на струне. Вы одновременно перемещаете руку вверх и вниз, а также в стороны. Максимумы бокового движения происходят на расстоянии четверти длины волны (или четверти окружности, то есть 90 градусов или π/2 радиан) от максимумов движения вверх и вниз. В любой точке струны смещение струны будет описывать ту же окружность, что и ваша рука, но с задержкой, обусловленной скоростью распространения волны. Обратите также внимание, что вы можете перемещать руку по окружности по часовой стрелке или против часовой стрелки. Эти альтернативные круговые движения создают право- и левоциркулярно поляризованные волны. По мере того, как ваша окружность становится менее идеальной, результирующее движение будет описывать эллипс, создавая эллиптически поляризованные волны. В предельном случае максимальной эксцентриситета эллипс вырождается в прямую линию, что приводит к линейной поляризации вдоль главной оси эллипса. Эллиптическое движение всегда можно разложить на два ортогональных линейных движения с разными амплитудами и с разностью фаз в 90 градусов, при этом круговая поляризация является частным случаем, когда амплитуды двух линейных движений равны.
If the medium is linear and allows multiple independent displacement directions for the same travel direction d, we can choose two mutually perpendicular directions of polarization, and express any wave linearly polarized in any other direction as a linear combination (mixing) of those two waves. By combining two waves with same frequency, velocity, and direction of travel, but with different phases and independent displacement directions, one obtains a circularly or elliptically polarized wave. In such a wave the particles describe circular or elliptical trajectories, instead of moving back and forth. It may help understanding to revisit the thought experiment with a taut string mentioned above. Notice that you can also launch waves on the string by moving your hand to the right and left instead of up and down. This is an important point. There are two independent (orthogonal) directions that the waves can move. (This is true for any two directions at right angles, up and down and right and left are chosen for clarity.) Any waves launched by moving your hand in a straight line are linearly polarized waves. But now imagine moving your hand in a circle. Your motion will launch a spiral wave on the string. You are moving your hand simultaneously both up and down and side to side. The maxima of the side to side motion occur a quarter wavelength (or a quarter of a way around the circle, that is 90 degrees or π/2 radians) from the maxima of the up and down motion. At any point along the string, the displacement of the string will describe the same circle as your hand, but delayed by the propagation speed of the wave. Notice also that you can choose to move your hand in a clockwise circle or a counter clockwise circle. These alternate circular motions produce right and left circularly polarized waves. To the extent your circle is imperfect, a regular motion will describe an ellipse, and produce elliptically polarized waves. At the extreme of eccentricity your ellipse will become a straight line, producing linear polarization along the major axis of the ellipse. An elliptical motion can always be decomposed into two orthogonal linear motions of unequal amplitude and 90 degrees out of phase, with circular polarization being the special case where the two linear motions have the same amplitude.