Многообразия Штейна: теория и свойства.

Введение

В математике, в теории нескольких комплексных переменных и комплексных многообразий, многообразие Штейна — это комплексное подмногообразие векторного пространства n комплексных размерностей. Они были введены и названы в честь Карла Штейна. Пространство Стейна подобно многообразию Штейна, но допускает наличие сингулярностей. Пространства Стейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии.

Некомпактные поверхности Римана - это коллекторы Штейна

Пусть X — связная, некомпактная поверхность Римана. Глубокая теорема Генриха Бёнке и Стайна (1948) утверждает, что X является многообразием Стайна. Другой результат, приписываемый Гансу Грауэрту и Гельмуту Рёрлу (1956), утверждает, что каждый голоморфный векторный расслоение на X тривиален. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому последовательность экспоненциального пучка приводит к следующей точной последовательности:

Теперь теорема Картана B показывает, что , следовательно,
Это связано с решением второй проблемы Кузена.

Свойства и примеры коллекторов Штейна

Стандартное комплексное пространство является многообразием Штейна. Каждая область голоморфии в является многообразием Штейна. Можно довольно легко показать, что каждое замкнутое комплексное подмногообразие многообразия Штейна также является многообразием Штейна. Теорема о вложении для многообразий Штейна утверждает следующее: каждое многообразие Штейна комплексной размерности можно вложить в биголоморфным собственным отображением. Эти факты подразумевают, что многообразие Штейна является замкнутым комплексным подмногообразием комплексного пространства, чья комплексная структура совпадает со структурой окружающего пространства (поскольку вложение биголоморфно). Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип n-мерного CW-комплекса. В одном комплексном измерении условие Штейна можно упростить: связная поверхность Римана является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда она не компактна. Это можно доказать, используя версию теоремы Рунге для поверхностей Римана, предложенную Бехнке и Штейном. Каждое многообразие Штейна голоморфно распространимо, то есть для каждой точки существуют голоморфные функции, определенные на всем , которые образуют локальную систему координат при ограничении некоторой открытой окрестностью . Быть многообразием Штейна эквивалентно быть (комплексным) сильно псевдовыпуклым многообразием. Последнее означает, что оно имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармоническую) исчерпывающую функцию, то есть гладкую вещественную функцию на (которую можно считать функцией Морса) с , такую что подмножества компактны в для каждого вещественного числа . Это решение так называемой проблемы Леви, названной в честь Эухенио Леви (1911). Функция предлагает обобщение многообразия Штейна к идее соответствующего класса компактных комплексных многообразий с границей, называемых областями Штейна. Область Штейна — это прообраз . Некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми многообразиями. В связи с предыдущим пунктом, другое эквивалентное и более топологическое определение в комплексной размерности 2 следующее: поверхность Штейна — это комплексная поверхность X с вещественнозначной функцией Морса f на X, такая что, вдали от критических точек f, поле комплексных касательных к прообразу является контактной структурой, которая индуцирует ориентацию на Xc, согласующуюся с обычной ориентацией как границей Xc. То есть, является заполнением Штейна Xc. Существует множество дальнейших характеризаций таких многообразий, в частности, фиксирующих свойство их наличия "многих" голоморфных функций, принимающих значения в комплексных числах. См., например, теоремы Картана A и B, относящиеся к когомологиям пучков. Первоначальным импульсом было описание свойств области определения (максимального) аналитического продолжения аналитической функции. В наборе аналогий GAGA многообразия Штейна соответствуют аффинным многообразиям. Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны эллиптическим многообразиям в комплексном анализе, которые допускают "многие" голоморфные функции из комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна является эллиптическим тогда и только тогда, когда оно фибрирует в смысле так называемой "голоморфной теории гомотопии".

The standard complex space is a Stein manifold. Every domain of holomorphy in is a Stein manifold. It can be shown quite easily that every closed complex submanifold of a Stein manifold is a Stein manifold, too. The embedding theorem for Stein manifolds states the following: Every Stein manifold of complex dimension can be embedded into by a biholomorphic proper map. These facts imply that a Stein manifold is a closed complex submanifold of complex space, whose complex structure is that of the ambient space (because the embedding is biholomorphic). Every Stein manifold of (complex) dimension n has the homotopy type of an n dimensional CW complex. In one complex dimension the Stein condition can be simplified: a connected Riemann surface is a Stein manifold if and only if it is not compact. This can be proved using a version of the Runge theorem for Riemann surfaces, due to Behnke and Stein. Every Stein manifold is holomorphically spreadable, i. e. for every point , there are holomorphic functions defined on all of which form a local coordinate system when restricted to some open neighborhood of
Being a Stein manifold is equivalent to being a (complex) strongly pseudoconvex manifold. The latter means that it has a strongly pseudoconvex (or plurisubharmonic) exhaustive function, i. e. a smooth real function on (which can be assumed to be a Morse function) with , such that the subsets are compact in for every real number This is a solution to the so called Levi problem, named after Eugenio Levi (1911). The function invites a generalization of Stein manifold to the idea of a corresponding class of compact complex manifolds with boundary called Stein domains. A Stein domain is the preimage Some authors call such manifolds therefore strictly pseudoconvex manifolds. Related to the previous item, another equivalent and more topological definition in complex dimension 2 is the following: a Stein surface is a complex surface X with a real valued Morse function f on X such that, away from the critical points of f, the field of complex tangencies to the preimage is a contact structure that induces an orientation on Xc agreeing with the usual orientation as the boundary of That is, is a Stein filling of Xc. Numerous further characterizations of such manifolds exist, in particular capturing the property of their having "many" holomorphic functions taking values in the complex numbers. See for example Cartan's theorems A and B, relating to sheaf cohomology. The initial impetus was to have a description of the properties of the domain of definition of the (maximal) analytic continuation of an analytic function. In the GAGA set of analogies, Stein manifolds correspond to affine varieties. Stein manifolds are in some sense dual to the elliptic manifolds in complex analysis which admit "many" holomorphic functions from the complex numbers into themselves. It is known that a Stein manifold is elliptic if and only if it is fibrant in the sense of so called "holomorphic homotopy theory".

Отношение к гладким коллекторам

Каждый компактный гладкий многообразие размерности 2n, имеющий только ручки индекса ≤ n, обладает штейновской структурой при n > 2, а при n = 2 то же самое верно, если 2-ручки прикреплены с определенными фреймингами (фреймингами, меньшими, чем фрейминг Терстона-Беннеквина). Каждое замкнутое гладкое 4-многообразие является объединением двух штейновских 4-многообразий, склеенных вдоль их общей границы.