Кольцо когомологий в алгебраической топологии: определение, построение через чашечное произведение и свойства. Когомологии, сингулярные когомологии, R-коэффициенты.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике, в частности в алгебраической топологии, кохомологическое кольцо топологического пространства X — это кольцо, образованное из кохомологических групп X вместе с произведением чашки, служащим операцией умножения в кольце. Здесь «кохомология» обычно понимается как сингулярная кохомология, но кольцевая структура также присутствует в других теориях, таких как кохомология де Рама. Оно также функториально: для непрерывного отображения пространств получается гомоморфизм колец на кохомологических кольцах, который является контравариантным. В частности, для последовательности кохомологических групп Hk(X;R) на X с коэффициентами в коммутативном кольце R (обычно R — Zn, Z, Q, R или C) можно определить произведение чашки, которое имеет вид
In mathematics, specifically algebraic topology, the cohomology ring of a topological space X is a ring formed from the cohomology groups of X together with the cup product serving as the ring multiplication. Here 'cohomology' is usually understood as singular cohomology, but the ring structure is also present in other theories such as de Rham cohomology. It is also functorial: for a continuous mapping of spaces one obtains a ring homomorphism on cohomology rings, which is contravariant. Specifically, given a sequence of cohomology groups Hk(X;R) on X with coefficients in a commutative ring R (typically R is Zn, Z, Q, R, or C) one can define the cup product, which takes the form
Произведение чашки задает умножение на прямой сумме кохомологических групп.
The cup product gives a multiplication on the direct sum of the cohomology groups
Это умножение превращает H•(X;R) в кольцо. Фактически, это естественным образом градуированное кольцо, где неотрицательное целое число k служит степенью. Произведение чашки сохраняет эту градуировку. Кохомологическое кольцо градуированно коммутативно в том смысле, что произведение чашки коммутирует с точностью до знака, определяемого градуировкой. В частности, для однородных элементов степени k и ℓ имеем:
This multiplication turns H•(X;R) into a ring. In fact, it is naturally an N graded ring with the nonnegative integer k serving as the degree. The cup product respects this grading. The cohomology ring is graded commutative in the sense that the cup product commutes up to a sign determined by the grading. Specifically, for pure elements of degree k and ℓ; we have
Численный инвариант, выводимый из кохомологического кольца, — это длина чашки, которая означает максимальное количество однородных элементов степени ≥ 1, при умножении которых получается ненулевой результат. Например, комплексное проективное пространство имеет длину чашки, равную его комплексной размерности.
A numerical invariant derived from the cohomology ring is the cup length, which means the maximum number of graded elements of degree ≥ 1 that when multiplied give a non zero result. For example a complex projective space has cup length equal to its complex dimension.
Примеры
где где где где где где По формуле Кюннета, кольцо когомологий по модулю 2 декартова произведения n копий является полиномиальным кольцом от n переменных с коэффициентами в . Редуцированное кольцо когомологий ведж-сумм является прямым произведением их редуцированных колец когомологий. Кольцо когомологий суспензий обращается в ноль, за исключением компоненты 0-й степени.
where where where where where where By the Künneth formula, the mod 2 cohomology ring of the cartesian product of n copies of is a polynomial ring in n variables with coefficients in The reduced cohomology ring of wedge sums is the direct product of their reduced cohomology rings. The cohomology ring of suspensions vanishes except for the degree 0 part.