Введение

Топологическое пространство с одной нетривиальной гомотопной группой.

В математике, в частности в алгебраической топологии, пространство Эйленберга — Маклейна — это топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопной группой. Пусть G — группа, а n — положительное целое число. Связное топологическое пространство X называется пространством Эйленберга — Маклейна типа (G, n), если его n-я гомотопная группа изоморфна G, а все остальные гомотопные группы тривиальны. При условии, что G абелева в случае n = 1, пространства Эйленберга — Маклейна типа (G, n) всегда существуют и все они слабо гомотопически эквивалентны. Таким образом, (G, n) можно рассматривать как класс слабо гомотопической эквивалентности пространств. Обычно любого представителя называют "пространством типа (G, n)" или "моделью типа (G, n)". Более того, часто предполагается, что это пространство является CW-комплексом (что всегда возможно посредством CW-аппроксимации). Название происходит от имени Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые ввели такие пространства в конце 1940-х годов. Следовательно, пространство Эйленберга — Маклейна является особым типом топологического пространства, которое в теории гомотопии можно рассматривать как строительный блок для CW-комплексов посредством фибраций в системе Постникова. Эти пространства важны во многих областях алгебраической топологии, включая вычисление гомотопических групп сфер, определение операций кохомологии и наличие тесной связи с сингулярной кохомологией. Обобщенное пространство Эйленберга — Маклейна — это пространство, имеющее гомотопический тип произведения пространств Эйленберга — Маклейна.

Примеры

Единичный круг — это a. Бесконечномерное комплексное проективное пространство — это модель бесконечномерного реального проективного пространства — это a. Клинная сумма k единичных окружностей — это a, где — свободная группа на k образующих. Дополнение к любому связному узлу или графу в трехмерной сфере имеет тип ; это называется "асферичностью узлов" и является теоремой 1957 года Христоса Папакириакопулоса. Любое компактное, связное, не положительно искривлённое многообразие M является a, где — фундаментальная группа M. Это следствие теоремы Картана — Адамара. Бесконечное пространство линз, заданное как фактор-пространство по свободному действию для , является a. Это можно показать, используя теорию накрывающих пространств и тот факт, что бесконечномерная сфера стягиваема. Обратите внимание, что это включает в себя как a. Конфигурационное пространство точек на плоскости является a, где — чистая группа кос на нитей. Соответственно, -е неупорядоченное конфигурационное пространство является a, где обозначает -нитковую группу кос. Бесконечное симметричное произведение n-сфер является a. В более общем случае, является a для всех пространств Мура. Некоторые дополнительные элементарные примеры могут быть построены из этих, используя тот факт, что произведение является . Например, -мерный тор является a.

Биекция между классами гомотопии карт и кохомологией

Важным свойством является то, что для любой абелевой группы G и любого базирующегося CW-комплекса X, множество базирующихся классов гомотопии базирующихся отображений из X в находится в естественной биекции с n-й сингулярной когомологической группой пространства X. Таким образом, говорят, что являются представляющими пространствами для сингулярной когомологии с коэффициентами в G. Поскольку существует выделенный элемент, соответствующий единице. Указанная биекция задается прообразом этого элемента. Это аналогично лемме Йонеды в теории категорий. Конструктивное доказательство этой теоремы можно найти здесь, а другое, использующее связь между омега-спектрами и обобщенными теориями редуцированной когомологии, – здесь, и основная идея также будет описана далее.

Пространства циклов / Омега-спектры

Круговое пространство пространства Эйленберга — Маклейна снова является пространством Эйленберга — Маклейна. Кроме того, существует сопряжённое отношение между круговым пространством и уменьшённой подвеской: , которое задаёт структуру абелевой группы, где операцией является конкатенация петель. Это делает биекцию, упомянутую выше, изоморфизмом группы. Также это свойство влечёт за собой, что пространства Эйленберга — Маклейна с различными n образуют омега-спектр, называемый "спектром Эйленберга — Маклейна". Этот спектр определяет посредством теории редуцированной кохомологии на основе CW-комплексов, и для любой теории редуцированной кохомологии на CW-комплексах с для существует естественный изоморфизм , где обозначает редуцированную сингулярную кохомологию. Следовательно, эти две теории кохомологии совпадают. В более общем контексте, теорема о представимости Брауна утверждает, что каждая теория редуцированной кохомологии на основе CW-комплексов происходит из омега-спектра.

Групповая (со) гомология

Можно определить (ко)гомологии группы G с коэффициентами в группе A как сингулярные (ко)гомологии пространства Эйленберга — Маклейна с коэффициентами в A.

Семинар по картографии и применение

Семинар Картана содержит множество фундаментальных результатов о пространствах Эйленберга — Маклейна, включая их гомологию и когомологию, а также приложения для вычисления гомотопических групп сфер. http://www.numdam.org/volume/SHC_1954_1955_7/