Введение
Автоморфическая группа метрического пространства или псевдоевклидова пространства.
В математике изометрическая группа метрического пространства — это множество всех биективных изометрий (то есть взаимно однозначных преобразований, сохраняющих расстояние) из метрического пространства в себя, с композицией функций в качестве групповой операции. Ее нейтральным элементом является тождественное преобразование. Элементы изометрической группы иногда называют движениями пространства. Каждая изометрическая группа метрического пространства является подгруппой группы изометрий. В большинстве случаев она представляет собой возможный набор симметрий объектов/фигур в пространстве или функций, определенных на этом пространстве. См. группа симметрии. Дискретная изометрическая группа — это изометрическая группа, такая что для каждой точки пространства множество образов этой точки при изометриях является дискретным множеством. В псевдоевклидовом пространстве метрика заменяется изотропной квадратичной формой; преобразования, сохраняющие эту форму, иногда называют "изометриями", и совокупность таких преобразований образует группу изометрий псевдоевклидова пространства.
In mathematics, the isometry group of a metric space is the set of all bijective isometries (that is, bijective, distance preserving maps) from the metric space onto itself, with the function composition as group operation. Its identity element is the identity function. The elements of the isometry group are sometimes called motions of the space. Every isometry group of a metric space is a subgroup of isometries. It represents in most cases a possible set of symmetries of objects/figures in the space, or functions defined on the space. See symmetry group. A discrete isometry group is an isometry group such that for every point of the space the set of images of the point under the isometries is a discrete set. In pseudo Euclidean space the metric is replaced with an isotropic quadratic form; transformations preserving this form are sometimes called "isometries", and the collection of them is then said to form an isometry group of the pseudo Euclidean space.
Примеры
Изометрическая группа подпространства метрического пространства, состоящего из точек разностороннего треугольника, является тривиальной группой. Аналогичным пространством для равнобедренного треугольника является циклическая группа второго порядка, C2. Аналогичным пространством для равностороннего треугольника является D3, диэдрическая группа порядка 6. Изометрическая группа двумерной сферы — это ортогональная группа O(3). Изометрическая группа n-мерного евклидова пространства — это евклидова группа E(n). Изометрическая группа модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости — проективная специальная унитарная группа PSU(1,1). Изометрическая группа модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости — PSL(2,R). Изометрическая группа пространства Минковского — группа Пуанкаре. Римановы симметричные пространства являются важными примерами, когда группа изометрий является группой Ли.