Введение

В абстрактной алгебре, в частности в теории вырожденных квадратных форм на векторных пространствах, конечномерные вещественные и комплексные алгебры Клиффорда для невырожденной квадратной формы были полностью классифицированы как кольца. В каждом случае алгебра Клиффорда алгебраически изоморфна полному кольцу матриц над R, C или H (квартернионами), либо прямой сумме двух копий такой алгебры, хотя и не каноническим образом. Ниже показано, что различные алгебры Клиффорда могут быть алгебраически изоморфны, как, например, Cl1,1(R) и Cl2,0(R), которые обе изоморфны как кольца кольцу двух на два матриц над вещественными числами.

Нотация и конвенции

Продукт Клиффорда является основным кольцевым произведением для алгебры Клиффорда, и все алгебраические гомоморфизмы в этой статье рассматриваются относительно этого кольцевого произведения. Другие произведения, определенные в алгебрах Клиффорда, такие как внешнее произведение, и другие структуры, такие как выделенное подпространство генераторов V, здесь не используются. В этой статье используется соглашение о знаке (+) для умножения Клиффорда, так что

для всех векторов v в векторном пространстве генераторов V, где Q — квадратичная форма на векторном пространстве V. Мы будем обозначать алгебру n × n матриц с элементами из поля деления K как Mn(K) или End(Kn). Прямая сумма двух таких одинаковых алгебр будет обозначаться как Mn(K) ⊕ Mn(K), которая изоморфна Mn(K ⊕ K).

Периодичность Bott

Алгебры Клиффорда демонстрируют двойную периодичность над комплексными числами и восьмикратную периодичность над действительными числами, что связано с аналогичными периодичностями для гомотопических групп устойчивой унитарной группы и устойчивой ортогональной группы, и называется периодичностью Ботта. Эта связь объясняется геометрической моделью подхода к периодичности Ботта через петлевые пространства: их двойными/восьмикратными периодическими вложениями классических групп друг в друга (соответствующими группам изоморфизмов алгебр Клиффорда) и последовательными факторпространствами, являющимися симметричными пространствами, гомотопически эквивалентными петлевым пространствам унитарной/ортогональной группы.

Сплошные спиноры с равными размерами

Классификация позволяет определить спиноры Дирака и спиноры Вейля в четных измерениях. В четном измерении n алгебра Клиффорда Cln(C) изоморфна End(CN), которая имеет свое фундаментальное представление на 1=Δn := CN. Комплексный спинор Дирака является элементом Δn. Термин "комплексный" означает, что это элемент пространства представлений комплексной алгебры Клиффорда, а не элемент комплексного векторного пространства. Четная подальгебра Cln0(C) изоморфна End(CN/2) ⊕ End(CN/2) и, следовательно, распадается на прямую сумму двух неприводимых пространств представлений, каждое из которых изоморфно CN/2. Леворукий (соответственно, праворукий) комплексный спинор Вейля является элементом Δ (соответственно, Δ).

Доказательство теоремы структуры для сложных алгебр Клиффорда

Теорему о структуре можно доказать индуктивно. Для базовых случаев Cl0(C) – это просто C ≅ End(C), а Cl1(C) задается алгеброй C ⊕ C ≅ End(C) ⊕ End(C) путем определения единственной гамма-матрицы как 1=γ1 = (1, −1). Нам также потребуется Cl2(C) ≅ End(C2). Матрицы Паули можно использовать для генерации алгебры Клиффорда, установив 1=γ1 = σ1, 1=γ2 = σ2. Оболочка, порожденная этой алгеброй, равна End(C2). Доказательство завершается построением изоморфизма Cln+2(C) ≅ Cln(C) ⊗ Cl2(C). Пусть γa генерирует Cln(C), а генерирует Cl2(C). Пусть 1=ω = i является элементом хиральности, удовлетворяющим 1=ω2 = 1 и 1=ω + = 0. Их можно использовать для построения гамма-матриц для Cln+2(C), установив 1=Γa = γa ⊗ ω для 1 ≤ a ≤ n и 1=Γa = 1 ⊗ для 1=a = n + 1, n + 2. Можно показать, что они удовлетворяют требуемой алгебре Клиффорда, и по универсальному свойству алгебр Клиффорда существует изоморфизм Cln(C) ⊗ Cl2(C) → Cln+2(C). Наконец, в четном случае это означает, что по гипотезе индукции Cln+2(C) ≅ End(CN) ⊗ End(C2) ≅ End(CN+1). Нечетный случай следует аналогично, поскольку тензорное произведение распределяется по прямым суммам.

Реальный случай

Реальный случай значительно сложнее, демонстрируя периодичность 8 вместо 2, и существует семейство алгебр Клиффорда с двумя параметрами.

Центр

Если n (эквивалентно, 1=p − q) является четным, алгебра Clp,q(R) является центральной простой и, следовательно, изоморфна матричной алгебре над R или H по теореме Артина — Уэддерберна. Если n (эквивалентно, 1=p − q) нечетно, то алгебра перестает быть центральной простой, а имеет центр, включающий в себя псевдоскаляры и скаляры. Если n нечетно и 1=ω2 = +1 (эквивалентно, если 1=p − q ≡ 1 (mod 4)), то, как и в комплексном случае, алгебра Clp,q(R) раскладывается в прямую сумму изоморфных алгебр, каждая из которых является центральной простой и, следовательно, изоморфна матричной алгебре над R или H.

Если n нечетно и 1=ω2 = −1 (эквивалентно, если 1=p − q ≡ −1 (mod 4)), то центр Clp,q(R) изоморфен C и может рассматриваться как комплексная алгебра. Как комплексная алгебра, она является центральной простой и, следовательно, изоморфна матричной алгебре над C.