Введение
Описывает, как связаны различные хирургические представления данного 3-многообразия. В математике, вычисление Кирби в геометрической топологии, названное в честь Робиона Кирби, является методом модификации обрамленных звеньев в 3-сфере с использованием конечного набора движений, движений Кирби. Используя четырехмерную теорию Серфа, он доказал, что если M и N – это 3-многообразия, полученные в результате хирургии Дейна по обрамленным звеньям L и J соответственно, то они гомеоморфны тогда и только тогда, когда L и J связаны последовательностью движений Кирби. Согласно теореме Ликкориша — Уоллеса, любое замкнутое ориентируемое 3-многообразие может быть получено такой операцией над некоторым звеном в 3-сфере. В литературе существует некоторая неоднозначность в точном использовании термина «движения Кирби». Различные представления «вычисления Кирби» имеют разный набор движений, которые иногда также называют движениями Кирби. Оригинальная формулировка Кирби включала два типа движений: «взрыв» и «скольжение ручки»; Роджер Фенн и Колин Рурк представили эквивалентную конструкцию в терминах единственного движения, движения Фенна — Рурка, которое встречается во многих изложениях и расширениях вычисления Кирби. В книге Дейла Рольфсена «Узлы и звенья», из которой многие топологи узнали вычисление Кирби, описывается набор из двух движений: 1) удаление или добавление компоненты с хирургическим коэффициентом, равным бесконечности, 2) скручивание вдоль не завязанной компоненты и соответствующее изменение хирургических коэффициентов (это называется скручиванием Рольфсена). Это позволяет расширить вычисление Кирби до рациональных хирургий. Существуют также различные приемы для модификации хирургических диаграмм. Одним из таких полезных приемов является «slam dunk». Расширенный набор диаграмм и движений используется для описания 4-многообразий. Обрамленное звено в 3-сфере кодирует инструкции для прикрепления 2-ручек к 4-шару (трехмерная граница этого многообразия является 3-мерной интерпретацией схемы соединения, упомянутой выше). 1-ручка обозначается либо парой 3-шаров (область прикрепления 1-ручки), либо, чаще, незавязанными окружностями с точками. Точка указывает, что окрестность стандартного 2-диска с границей, являющейся пунктирной окружностью, должна быть вырезана из внутренней части 4-шара. Вырезание этой 2-ручки эквивалентно добавлению 1-ручки; 3-ручки и 4-ручки обычно не указываются на диаграмме.
In mathematics, the Kirby calculus in geometric topology, named after Robion Kirby, is a method for modifying framed links in the 3 sphere using a finite set of moves, the Kirby moves. Using four dimensional Cerf theory, he proved that if M and N are 3 manifolds, resulting from Dehn surgery on framed links L and J respectively, then they are homeomorphic if and only if L and J are related by a sequence of Kirby moves. According to the Lickorish–Wallace theorem any closed orientable 3 manifold is obtained by such surgery on some link in the 3 sphere. Some ambiguity exists in the literature on the precise use of the term "Kirby moves". Different presentations of "Kirby calculus" have a different set of moves and these are sometimes called Kirby moves. Kirby's original formulation involved two kinds of move, the "blow up" and the "handle slide"; Roger Fenn and Colin Rourke exhibited an equivalent construction in terms of a single move, the Fenn–Rourke move, that appears in many expositions and extensions of the Kirby calculus. Dale Rolfsen's book, Knots and Links, from which many topologists have learned the Kirby calculus, describes a set of two moves: 1) delete or add a component with surgery coefficient infinity 2) twist along an unknotted component and modify surgery coefficients appropriately (this is called the Rolfsen twist). This allows an extension of the Kirby calculus to rational surgeries. There are also various tricks to modify surgery diagrams. One such useful move is the slam dunk. An extended set of diagrams and moves are used for describing 4 manifolds. A framed link in the 3 sphere encodes instructions for attaching 2 handles to the 4 ball. (The 3 dimensional boundary of this manifold is the 3 manifold interpretation of the link diagram mentioned above.) 1 handles are denoted by either
a pair of 3 balls (the attaching region of the 1 handle) or, more commonly,
unknotted circles with dots. The dot indicates that a neighborhood of a standard 2 disk with boundary the dotted circle is to be excised from the interior of the 4 ball. Excising this 2 handle is equivalent to adding a 1 handle; 3 handles and 4 handles are usually not indicated in the diagram.
Разложение ручки
Закрытый, гладкий 4-многообразие обычно описывается разложением на ручки. 0-ручка — это просто шар, а карта прикрепления — непересекающееся объединение. 1-ручка прикрепляется вдоль двух непересекающихся 3-шаров. 2-ручка прикрепляется вдоль твердого тора; поскольку этот твердый тор вложен в 3-многообразие, существует связь между разложениями на ручки 4-многообразий и теорией узлов в 3-многообразиях. Пару ручек с индексами, отличающимися на 1, чьи ядра сцеплены достаточно простым образом, можно удалить без изменения исходного многообразия. Аналогично, такую удаляемую пару можно создать. Два различных гладких разложения на ручки гладкого 4-многообразия связаны конечной последовательностью изотопий карт прикрепления и созданием/удалением пар ручек.