Введение
Класс математических функций. В математической области комплексного анализа мероморфная функция на открытом подмножестве D комплексной плоскости — это функция, голоморфная на всем D, за исключением множества изолированных точек, являющихся полюсами этой функции. Термин происходит от греческого слова meros (μέρος), означающего «часть». Любую мероморфную функцию на D можно представить в виде отношения двух голоморфных функций (со знаменателем, не равным тождественно нулю), определенных на D: каждый полюс должен совпадать с нулем знаменателя.
In the mathematical field of complex analysis, a meromorphic function on an open subset D of the complex plane is a function that is holomorphic on all of D except for a set of isolated points, which are poles of the function. The term comes from the Greek meros (μέρος), meaning "part". Every meromorphic function on D can be expressed as the ratio between two holomorphic functions (with the denominator not constant 0) defined on D: any pole must coincide with a zero of the denominator.
Эвристическое описание
Интуитивно, мероморфная функция — это отношение двух хорошо определенных (голоморфных) функций. Такая функция также будет хорошо определена, за исключением, возможно, точек, в которых знаменатель дроби равен нулю. Если знаменатель имеет нуль в точке z, а числитель не имеет, то значение функции будет стремиться к бесконечности; если же нули есть и в числителе, и в знаменателе в точке z, то необходимо сравнить порядок этих нулей. С алгебраической точки зрения, если область определения функции связна, то множество мероморфных функций является полем частных интегральной области, образованной множеством голоморфных функций. Это аналогично отношению между рациональными и целыми числами.
Предыдущее, альтернативное использование
Как область исследования, в которой использовался этот термин, так и его точное значение изменились в 20-м веке. В 1930-х годах в теории групп мероморфная функция (или мероморф) представляла собой функцию из группы G в себя, сохраняющую операцию умножения в группе. Образ этой функции назывался автоморфизмом группы G. Аналогично, гомоморфная функция (или гомоморф) была функцией между группами, сохраняющей операцию умножения, а гомоморфизм – образом гомоморфа. Эта трактовка термина устарела, и связанный с ней термин «мероморф» больше не используется в теории групп. В настоящее время для обозначения самой функции используется термин «эндоморфизм», а образу функции специального названия не присваивается. Мероморфная функция не обязательно является эндоморфизмом, поскольку комплексные точки в её полюсах не входят в область определения, но могут входить в область значений.
Свойства
Поскольку полюса изолированы, их количество для мероморфной функции может быть, в лучшем случае, счетным. Например, функции 1/z и 1/z^2 мероморфны на всей комплексной плоскости. Более того, они являются единственными мероморфными функциями на расширенной комплексной плоскости. Функции 1/z, а также гамма-функция и дзета-функция Римана являются мероморфными на всей комплексной плоскости. Функция 1/z определена на всей комплексной плоскости, за исключением начала координат, 0. Однако 0 не является полюсом этой функции, а скорее существенной сингулярностью. Таким образом, эта функция не является мероморфной на всей комплексной плоскости. Однако она мероморфна (даже голоморфна) на любой области, не содержащей 0. Комплексный логарифм не является мероморфным на всей комплексной плоскости, поскольку его нельзя определить на всей комплексной плоскости, исключая лишь множество изолированных точек. Функция 1/sin(z) не является мероморфной на всей плоскости, так как точка z=0 является точкой накопления полюсов и, следовательно, не является изолированной сингулярностью. Функция e^z также не является мероморфной, так как имеет существенную сингулярность в 0.