Введение

Местоположение, в окрестности которого функция проявляет нерегулярное поведение. Существенные сингулярности вещественнозначных функций.

В комплексном анализе существенная сингулярность функции — это "сильная" сингулярность, вблизи которой функция демонстрирует выраженное поведение. Категория существенной сингулярности представляет собой "оставшуюся" или базовую группу изолированных сингулярностей, которые особенно сложны в обработке: по определению они не подпадают ни под одну из двух других категорий сингулярностей, с которыми можно как-то справиться — устранимые сингулярности и полюса. На практике некоторые исследователи также включают неизолированные сингулярности; у них нет вычета.

Официальное описание

Рассмотрим открытое подмножество комплексной плоскости. Пусть z – элемент этого подмножества, а f – голоморфная функция. Точка z называется существенной сингулярностью функции f, если эта сингулярность не является ни полюсом, ни устранимой сингулярностью. Например, функция e^(1/z) имеет существенную сингулярность в точке z=0.

Альтернативные описания

Пусть – комплексное число, и предположим, что не определено в точке , но является аналитической в некоторой области комплексной плоскости, и что каждое открытое окрестность имеет непустое пересечение с .

Если оба предела и существуют, то – устранимая особая точка как для , так и для .

Если существует, но не существует (фактически, ), то – нуль функции , а – полюс функции . Аналогично, если не существует (фактически, ), но существует, то – полюс функции , а – нуль функции .

Если ни , ни не существуют, то – существенная особая точка как для , так и для .

Другой способ характеризовать существенную особую точку заключается в том, что ряд Лорана функции в точке имеет бесконечно много членов с отрицательной степенью (то есть, главная часть ряда Лорана является бесконечной суммой). Связанное определение состоит в том, что если существует точка , для которой ни одна производная функции не стремится к пределу при стремящемся к , то – существенная особая точка функции .

На сфере Римана с точкой в бесконечности , функция имеет существенную особую точку в этой точке тогда и только тогда, когда имеет существенную особую точку в 0, то есть ни , ни не существуют. Риманова дзета-функция на сфере Римана имеет только одну существенную особую точку, в . Действительно, каждая мероморфная функция, не являющаяся рациональной, имеет единственную существенную особую точку в .

Поведение голоморфных функций вблизи их существенных особых точек описывается теоремой Казорати — Вейерштрасса и значительно более сильной теоремой Пикара. Последняя утверждает, что в каждой окрестности существенной особой точки функция принимает каждое комплексное значение, за исключением, возможно, одного, бесконечно много раз. (Исключение необходимо; например, функция никогда не принимает значение 0.)