Введение
Изучает линейные представления конечных групп над полем K положительной характеристики p. Модульная теория представлений — это раздел математики, изучающий линейные представления конечных групп над полем K положительной характеристики p, которая обязательно является простым числом. Помимо приложений в теории групп, модульные представления естественным образом возникают в других областях математики, таких как алгебраическая геометрия, теория кодирования, комбинаторика и теория чисел. В рамках теории конечных групп, результаты теории характеров, доказанные Ричардом Брауэром с использованием модульной теории представлений, сыграли важную роль в раннем прогрессе в классификации конечных простых групп, особенно для простых групп, чья характеристика не поддавалась чисто группотеоретическим методам, поскольку их силовские 2-подгруппы были слишком малы в некотором смысле. Кроме того, общий результат о вложении элементов порядка 2 в конечные группы, известный как теорема Z*, доказанный Джорджем Глауберманом с использованием теории, разработанной Брауэром, оказался особенно полезным в программе классификации. Если характеристика p поля K не делит порядок |G|, то модульные представления полностью разложимы, как и обычные (характеристики 0) представления, в силу теоремы Машке. В противном случае, когда |G| ≡ 0 (mod p), процесс усреднения по группе, необходимый для доказательства теоремы Машке, нарушается, и представления не обязаны быть полностью разложимыми. В дальнейшем обсуждении часто неявно предполагается, что поле K достаточно велико (например, достаточно алгебраически замкнуто), иначе некоторые утверждения требуют уточнения.
Modular representation theory is a branch of mathematics, and is the part of representation theory that studies linear representations of finite groups over a field K of positive characteristic p, necessarily a prime number. As well as having applications to group theory, modular representations arise naturally in other branches of mathematics, such as algebraic geometry, coding theory, combinatorics and number theory. Within finite group theory, character theoretic results proved by Richard Brauer using modular representation theory played an important role in early progress towards the classification of finite simple groups, especially for simple groups whose characterization was not amenable to purely group theoretic methods because their Sylow 2 subgroups were too small in an appropriate sense. Also, a general result on embedding of elements of order 2 in finite groups called the Z* theorem, proved by George Glauberman using the theory developed by Brauer, was particularly useful in the classification program. If the characteristic p of K does not divide the order |G|, then modular representations are completely reducible, as with ordinary (characteristic 0) representations, by virtue of Maschke's theorem. In the other case, when |G| ≡ 0 mod p, the process of averaging over the group needed to prove Maschke's theorem breaks down, and representations need not be completely reducible. Much of the discussion below implicitly assumes that the field K is sufficiently large (for example, K algebraically closed suffices), otherwise some statements need refinement.
История
Самая ранняя работа по теории представлений над конечными полями принадлежит [имя автора], который показал, что если p не делит порядок группы, то теория представлений аналогична теории в характеристике 0. Он также исследовал модульные инварианты некоторых конечных групп. Систематическое изучение модулярных представлений, когда характеристика p делит порядок группы, было начато [имя автора] и продолжалось им на протяжении следующих нескольких десятилетий.
Интерпретация теории колец
При заданном поле K и конечной группе G, групповая алгебра K[G] (которая является K-векторным пространством с базисом, состоящим из элементов G, снабженным алгебраическим умножением, определяемым расширением умножения в G посредством линейности) является кольцом Артина. Если порядок G делится на характеристику поля K, то групповая алгебра не является полупростой и, следовательно, имеет ненулевой радикал Джейкобсона. В этом случае существуют конечномерные модули над групповой алгеброй, которые не являются проективными. В отличие от этого, в случае характеристики 0 каждое неприводимое представление является прямым слагаемым регулярного представления и, следовательно, является проективным.
Количество простых модулей
В обычной теории представлений число простых модулей k(G) равно числу классов сопряженности группы G. В модулярном случае число l(G) простых модулей равно числу классов сопряженности, элементы которых имеют порядок, взаимно простой с простым числом p, то есть так называемым p-регулярным классам.