Введение
Гладкое многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное сфере.
В области математики, называемой дифференциальной топологией, экзотическая сфера — это дифференцируемое многообразие M, гомеоморфное, но не диффеоморфное стандартной евклидовой n-сфере. Иными словами, M является сферой с точки зрения всех её топологических свойств, но несёт гладкую структуру, отличную от привычной (отсюда и название «экзотическая»). Первые экзотические сферы были построены в размерности как расслоения. Было показано, что на 7-сфере существует по крайней мере 7 дифференцируемых структур. В любой размерности было доказано, что классы диффеоморфизма ориентированных экзотических сфер образуют нетривиальные элементы абелева моноида относительно связной суммы, который является конечной абелевой группой, если размерность не равна 4. Классификация экзотических сфер показала, что ориентированные экзотические 7-сферы являются нетривиальными элементами циклической группы порядка 28 относительно операции связной суммы. В более общем случае, в любой размерности n ≠ 4 существует конечная абелева группа, элементы которой являются классами эквивалентности гладких структур на Sn, где две структуры считаются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, переносящий одну структуру в другую. Операция группы определяется как [x] + [y] = [x + y], где x и y — произвольные представители их классов эквивалентности, а x + y обозначает гладкую структуру на гладкой Sn, являющуюся связной суммой x и y. Необходимо показать, что такое определение не зависит от сделанного выбора; действительно, это можно доказать.
Введение
Единичная n-сфера, , представляет собой множество всех (n+1)-кортежей действительных чисел, таких что сумма равна 1. Например, - это окружность, а - поверхность обычного шара радиуса один в 3 измерениях. Топологи считают пространство X n-сферой, если между ними существует гомеоморфизм, то есть каждая точка в X может быть сопоставлена ровно одной точкой в единичной n-сфере непрерывным биективным отображением с непрерывным обратным отображением. Например, точку x на n-сфере радиуса r можно гомеоморфно сопоставить с точкой на единичной n-сфере, умножив её расстояние от начала координат на . Аналогично, n-куб любого радиуса гомеоморфен n-сфере. В дифференциальной топологии два гладких многообразия считаются дифференциально эквивалентными, если существует диффеоморфизм из одного в другое, который является гомеоморфизмом между ними, с дополнительным условием, что он должен быть гладким — то есть, иметь производные всех порядков во всех своих точках — и его обратный гомеоморфизм также должен быть гладким. Для вычисления производных необходимо иметь локальные системы координат, согласованно определенные в X. Математики (включая самого Милнора) были удивлены в 1956 году, когда Милнор показал, что согласованные локальные системы координат можно установить на 7-й сфере двумя различными способами, которые эквивалентны в непрерывном смысле, но не в дифференцируемом смысле. Милнор и другие приступили к попыткам выяснить, сколько таких экзотических сфер может существовать в каждом измерении и понять, как они связаны друг с другом. На 1-й, 2-й, 3-й, 5-й, 6-й, 12-й, 56-й или 61-й сфере не может быть никаких экзотических структур. Некоторые сферы более высоких измерений имеют только две возможные дифференцируемые структуры, другие — тысячи. Существуют ли экзотические 4-сферы, и если да, то сколько, остаётся нерешённой проблемой.
Классификация
Моноид гладких структур на n-сферах — это множество ориентированных гладких n-многообразий, гомеоморфных n-сфере, рассматриваемых с точностью до сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов. Операция в этом моноиде — связная сумма. При определенных условиях этот моноид является группой и изоморфен группе классов h-кобордизма ориентированных гомотопических n-сфер, которая является конечной и абелевой. В размерности 4 о моноиде гладких сфер известно крайне мало, за исключением того, что он конечен или счетно бесконечен, и абелев, хотя предполагается, что он бесконечен; см. раздел о скрутках Глюка. Все гомотопические n-сферы гомеоморфны n-сфере согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, доказанной Стивеном Смалем в размерностях больше 4, Майклом Фридманом в размерности 4 и Григорием Перельманом в размерности 3. В размерности 3 Эдвин Э. Мойз доказал, что каждое топологическое многообразие имеет по существу единственную гладкую структуру (см. теорему Мойза), поэтому моноид гладких структур на 3-сфере тривиален.
Карта между долями
Группа частного имеет описание в терминах стабильных гомотопических групп сфер по модулю образа гомоморфизма J; она либо равна частному, либо имеет индекс 2. Более точно, существует инъективное отображение
где – n-я стабильная гомотопическая группа сфер, а J – образ гомоморфизма J. Как и в случае с , образ J является циклической группой и тривиален или имеет порядок 2, за исключением случая , когда он может быть большим, а его порядок связан с числами Бернулли. Группа частного является "трудной" частью стабильных гомотопических групп сфер, и, соответственно, "трудной" частью экзотических сфер, но почти полностью сводится к вычислению гомотопических групп сфер. Отображение является либо изоморфизмом (образ равен всей группе), либо инъективным отображением с индексом 2. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда существует n-мерное расслоенное многообразие с инвариантом Кервайра, равным 1, что известно как проблема инварианта Кервайра. Таким образом, фактор 2 в классификации экзотических сфер зависит от проблемы инварианта Кервайра. По состоянию на 2012 год проблема инварианта Кервайра почти полностью решена, открытым остается только случай ; подробности см. в этой статье. Это в основном работа , который доказал, что такие многообразия существуют только в размерности , и , который доказал, что таких многообразий для размерности и выше не существует. Многообразия с инвариантом Кервайра 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62, но размерность 126 остается открытой, и ни одно многообразие не было построено или опровергнуто.
Строительство Милнор
Один из первых примеров экзотической сферы, найденный Милнором, был следующим. Пусть – единичный шар в , а – его граница, то есть 3-сфера, которую мы отождествляем с группой единичных кватернионов. Теперь возьмем две копии , каждая с границей , и склеим их вместе, отождествляя точку в первой границе с точкой во второй границе. Полученное многообразие имеет естественную гладкую структуру и гомеоморфно к , но не диффеоморфно к . Милнор показал, что оно не является границей никакого гладкого 8-мерного многообразия с обращающимся в ноль 4-м числом Бетти, и не имеет диффеоморфизма, меняющего ориентацию, на само себя; любое из этих свойств подразумевает, что это не стандартная 7-сфера. Милнор показал, что для этого многообразия существует функция Морса всего с двумя критическими точками, обе из которых невырождены, что подразумевает, что оно топологически является сферой.
Четырехмерные экзотические сферы и круги Глюка
В 4-х измерениях неизвестно, существуют ли какие-либо экзотические гладкие структуры на 4-сфере. Утверждение об их несуществовании известно как "гладкая гипотеза Пуанкаре", и обсуждается теми, кто полагает, что оно ложно. Среди кандидатов на роль экзотических 4-сфер можно назвать сферы Каппелла — Шенсона и сферы, полученные с помощью кручений Глюка. Сферы кручения Глюка строятся путем вырезания трубчатой окрестности 2-сферы S в S⁴ и склеивания её обратно с использованием диффеоморфизма её границы S² × S¹. Результат всегда гомеоморфен S⁴. За прошедшие годы многие случаи были исключены как возможные контрпримеры к гладкой 4-мерной гипотезе Пуанкаре. Например, [список примеров].