Введение

Теорема о нулях голоморфных функций. Теорема из линейной алгебры.

Теорема Руше, названная в честь Эжена Руше, утверждает, что для любых двух комплекснозначных функций f и g, голоморфных внутри некоторой области с замкнутым контуром Γ, если |g(z)| < |f(z)| на Γ, то функции f и f + g имеют одинаковое количество нулей внутри Γ, считая каждый нуль с учетом его кратности. Эта теорема предполагает, что контур Γ прост, то есть не имеет самопересечений. Теорема Руше является прямым следствием более сильной симметричной теоремы Руше, описанной ниже.

Использование

Теорема обычно используется для упрощения задачи нахождения нулей следующим образом. Зададим аналитическую функцию и представим её в виде суммы двух частей, одна из которых проще и растёт быстрее (следовательно, доминирует) над другой. Тогда мы можем найти нули, рассматривая только доминирующую часть. Например, многочлен имеет ровно 5 нулей в диске , поскольку для каждого , и доминирующая часть имеет пять нулей в диске.

Геометрическое объяснение

Можно дать неофициальное объяснение теоремы Руше. Пусть C — замкнутая, простая кривая (то есть не самопересекающаяся). Пусть h(z) = f(z) + g(z). Если f и g голоморфны внутри C, то h также должен быть голоморфным внутри C. Тогда, при наложенных выше условиях, теорема Руше в своей оригинальной (несимметричной) форме утверждает, что

Обратите внимание, что условие |f(z)| > |h(z) − f(z)| означает, что для любой точки z расстояние от f(z) до начала координат больше, чем длина отрезка h(z) − f(z). На следующем рисунке это означает, что для каждой точки на синей кривой отрезок, соединяющий её с началом координат, больше, чем соответствующий ей зелёный отрезок. Неформально можно сказать, что синяя кривая f(z) всегда ближе к красной кривой h(z), чем к началу координат. Предыдущий абзац показывает, что h(z) должен обходить начало координат столько же раз, сколько и f(z). Индекс обеих кривых вокруг нуля, следовательно, одинаков, и по принципу аргумента f(z) и h(z) должны иметь одинаковое количество нулей внутри C.

Один популярный, неформальный способ обобщить этот аргумент следующий: если человек ведёт собаку на поводке вокруг дерева так, что расстояние между человеком и деревом всегда больше длины поводка, то и человек, и собака обойдут дерево одинаковое количество раз.

Ограничивающие корни

Рассмотрим многочлен с помощью квадратичной формулы можно найти два корня при этом теорему Руше можно использовать, чтобы получить некоторую информацию об их расположении. Поскольку теорема Руше утверждает, что многочлен имеет ровно один корень внутри диска, а явно находится вне диска, мы заключаем, что корень находится в общем случае, для многочлена, если для некоторого , то по теореме Руше, многочлен имеет ровно корней внутри. Такой подход может быть полезен при определении вычетов при применении теоремы о вычетах Коши.

Доказательство симметричной формы теоремы Руше

Пусть будет простой замкнутый контур, образ которого является границей. Гипотеза подразумевает, что f не имеет корней на , следовательно, по принципу аргумента, число Nf(K) нулей f в K равно

т.е. индексу обмотки замкнутой кривой вокруг начала координат; аналогично для g. Гипотеза гарантирует, что g(z) не является отрицательным действительным кратным f(z) для любого z = C(x), таким образом, 0 не лежит на отрезке прямой, соединяющем f(C(x)) и g(C(x)), и

является гомотопией между кривыми и , избегающей начала координат. Индекс обмотки является гомотопическим инвариантом: функция

непрерывна и принимает целые значения, следовательно, постоянна. Это показывает.