Кіріспе
Голоморфтық функциялардың нөлдері туралы теорема – сызықтық алгебрадағы теорема.
the theorem in linear algebra
Евгений Руше атындағы теорема былай гласиды: егер қандай да бір жабық контурлы аймақта f және g екі күрделі функциясы голоморфты болса, және |g(z)| < |f(z)| контурдың бойында орындалса, онда f және f + g функцияларының ішіндегі нөлдер саны бірдей болады, әрбір нөл оның көпкүндігіне сәйкес есептеледі. Бұл теорема контурдың қарапайым, яғни өзімен-өзі қиылыспайтын екенін талап етеді. Руше теоремасы – төменде сипатталатын күшті симметриялық Руше теоремасының оңай салдары болып табылады.
Қолданылуы
Теорема көбінесе нөлдерді табу мәселесін жеңілдету үшін қолданылады, мынадай тәсілмен: Аналитикалық функция берілгенде, оны екі бөліктен тұратын қосынды ретінде жазамыз, олардың біреуі қарапайым және екіншісінен жылдам өседі (яғни, үстемдік етеді). Содан кейін біз тек үстем бөлігін қарастыра отырып, нөлдерді анықтай аламыз. Мысалы, полином дискіде дәл 5 нөлге ие, себебі әрбір және үшін, үстем бөлік дискіде бес нөлге ие.
Геометриялық түсіндірме
Руше теоремасының бейресми түсіндірмесін беру мүмкін. C жабық, қарапайым қисық болсын (яғни, өзін-өзі қисаймайтын). h(z) = f(z) + g(z) болсын. Егер f және g екеуі де C қисығының ішкі жағында голоморфты болса, онда h да C қисығының ішкі жағында голоморфты болуы керек. Осы шарттар орындалғанда, Руше теоремасы бастапқы (симметриялық емес) түрінде былай тұжырымдайды:
|f(z)| > |h(z) − f(z)| шарты кез келген z үшін f(z) нүктесінен бастапқы нүктеге дейінгі қашықтықтың h(z) − f(z) айырмасының ұзындығынан артық екенін білдіреді. Келесі суретте бұл көк қисықтағы әрбір нүкте үшін, осы нүктеден бастапқы нүктеге дейінгі кесіндіге сәйкес келетін жасыл кесіндіден ұзын екенін көрсетеді. Бейресми айтқанда, көк қисық f(z) әрқашан қызыл қисық h(z)-ға, бастапқы нүктеге қарағанда жақын болады. Алдыңғы абзацтан h(z) функциясы бастапқы нүктеге f(z) функциясымен бірдей рет айналуы керек екені көрінеді. Демек, екі қисықтың да нөлге қатысты индексі бірдей, сондықтан аргумент принципі бойынша f(z) және h(z) функциялары C ішінде бірдей сандағы нөлдерге ие болуы керек.
Осы тұжырымды бейресми түрде қорытындылаудың бір танымал жолы мынадай: Егер адам итті арқанмен айналып, ағашқа айналдырса және адам мен ағаш арасындағы қашықтық арқанның ұзындығынан әрқашан үлкен болса, онда адам мен ит ағашқа бірдей рет айналады.
Тамырларды шектейтін
Көпжүйені қарастырайық, оның екі нөлі квадраттық формула бойынша табылады. Руше теоремасы олардың орналасуы туралы ақпарат беруге көмектеседі. Руше теоремасына сәйкес, көпжүйенің диск ішінде дәл бір нөлі бар. Егер ол диск сыртында жатса, онда нөл диск сыртында деп қорытындылаймыз. Жалпы алғанда, егер кейбір үшін , онда Руше теоремасы бойынша, көпжүйенің ішінде дәл түбір бар. Мұндай аргумент Коши қалдық теоремасын қолданғанда қалдықтарды табуға пайдалы болуы мүмкін.
Rouché's theorem says that the polynomial has exactly one zero inside the disk Since is clearly outside the disk, we conclude that the zero is
In general, a polynomial If for some , then by Rouche's theorem, the polynomial has exactly roots inside
This sort of argument can be useful in locating residues when one applies Cauchy's residue theorem.
Руше теоремасының симметриялық түрінің дәлелі
Көздегені шекарасы болып табылатын қарапайым жабық қисық болсын. Гипотеза f-тің шеңберде тамыры жоқ екенін білдіреді, сондықтан аргумент принципі бойынша, K-дегі f нөлдерінің саны Nf(K) – бұл жабық қисықтың бастапқы нүкте бойынша оралу саны; g үшін де осыған ұқсас. Гипотеза g(z)-дің кез келген z = C(x) үшін f(z)-дің теріс нақты еселігі емес екенін қамтамасыз етеді, сондықтан 0, f(C(x))-тен g(C(x))-ке қосылатын сызық сегментінде жатпайды, ал
i. e., the winding number of the closed curve around the origin; similarly for g. The hypothesis ensures that g(z) is not a negative real multiple of f(z) for any z = C(x), thus 0 does not lie on the line segment joining f(C(x)) to g(C(x)), and
is a homotopy between the curves and avoiding the origin. The winding number is homotopy invariant: the function
is continuous and integer valued, hence constant. This shows
қисықтардың арасындағы гомотопия болып табылады, бастапқы нүктеден аулақ өтеді. Оралу саны гомотопия инварианты болып табылады: функция үздіксіз және бүтін санмен бағаланады, сондықтан тұрақты. Бұл көрсетіп тұр.
i. e., the winding number of the closed curve around the origin; similarly for g. The hypothesis ensures that g(z) is not a negative real multiple of f(z) for any z = C(x), thus 0 does not lie on the line segment joining f(C(x)) to g(C(x)), and
is a homotopy between the curves and avoiding the origin. The winding number is homotopy invariant: the function
is continuous and integer valued, hence constant. This shows