Введение

Многоугольники, соединенные сторонами, которые складываются в многогранник.

В геометрии развертка многогранника – это расположение неперекрывающихся многоугольников, соединенных сторонами, на плоскости, которое можно сложить (по ребрам), чтобы получить грани многогранника. Развертки многогранников являются полезным инструментом для изучения многогранников и стереометрии в целом, поскольку они позволяют создавать физические модели многогранников из таких материалов, как тонкий картон. Первые примеры разверток многогранников встречаются в трудах Альбрехта Дюрера, чья книга 1525 года «Учебник искусства измерений с помощью циркуля и линейки» (Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd) содержала развертки платонических тел и нескольких архимедовых тел. Эти конструкции впервые были названы развертками в 1543 году Августином Хиршвогелем.

Существование и уникальность

Для данного многогранника может существовать множество различных развёрток, в зависимости от выбора, какие рёбра соединяются, а какие остаются разделёнными. Рёбра, которые вырезаются из выпуклого многогранника для получения развёртки, должны образовывать остовное дерево многогранника, но вырезание некоторых остовных деревьев может привести к самоперекрытию многогранника при разворачивании, а не к образованию развёртки. Если развёртка задана вместе с шаблоном склеивания её рёбер, таким образом, чтобы каждая вершина полученной фигуры имела положительный угловой дефект и чтобы сумма этих дефектов была точно равна 4, то существует ровно один многогранник, который можно сложить из неё; это теорема единственности Александрова. Однако, многогранник, сформированный таким образом, может иметь грани, отличные от тех, что указаны в развёртке: некоторые многоугольники развёртки могут иметь сгибы, а некоторые рёбра между многоугольниками развёртки могут оставаться несклеенными. Кроме того, одна и та же развёртка может иметь несколько допустимых схем склеивания, приводящих к различным сложенным многогранникам. В 1975 году Г. К. Шепард задался вопросом, имеет ли каждый выпуклый многогранник хотя бы одну развёртку, или простое разворачивание рёбер. Этот вопрос, также известный как гипотеза Дюрера или задача разворачивания Дюрера, остаётся нерешённым. Существуют невыпуклые многогранники, которые не имеют развёрток, и можно разделить грани каждого выпуклого многогранника (например, вдоль линии разреза) так, чтобы набор разделённых граней имел развёртку. В 2014 году Мохаммад Гоми показал, что каждый выпуклый многогранник допускает развёртку после аффинного преобразования. Более того, в 2019 году Барвинок и Гоми показали, что обобщение гипотезы Дюрера не выполняется для псевдорёбер, то есть сети геодезических, соединяющих вершины многогранника и образующих граф с выпуклыми гранями. Связанный открытый вопрос заключается в том, имеет ли каждая развёртка выпуклого многогранника «распускание» – непрерывное несамопересекающееся движение от плоского состояния к сложенному, сохраняющее каждую грань плоской на протяжении всего движения.

Самый короткий путь

Самый короткий путь по поверхности между двумя точками на поверхности многогранника соответствует прямой линии на подходящей развёртке для подмножества граней, которые путь касается. Развёртка должна быть такой, чтобы прямая линия полностью находилась внутри неё, и, возможно, потребуется рассмотреть несколько развёрток, чтобы определить, какая из них даёт самый короткий путь. Например, в случае куба, если точки находятся на смежных гранях, одним из возможных кратчайших путей является путь, пересекающий общий край; кратчайший путь такого типа находится с использованием развёртки, где эти две грани также смежны. Другие возможные кратчайшие пути проходят через поверхность третьей грани, прилегающей к обеим (таких граней две), и соответствующие развёртки можно использовать для поиска кратчайшего пути в каждой из этих категорий. Задача «Паук и муха» — это занимательная математическая головоломка, которая заключается в поиске кратчайшего пути между двумя точками на параллелепипеде.

Высокомерные политопные сети

Сеть 4-политопа, четырёхмерного политопа, состоит из многогранных ячеек, соединённых своими гранями и все занимающих одно и то же трёхмерное пространство, подобно тому, как многоугольные грани развёртки многогранника соединены своими рёбрами и все лежат в одной плоскости. Развёртка тессеракта, четырёхмерного гиперкуба, заметно присутствует в картине Сальвадора Дали «Распятие (Corpus Hypercubus)» (1954). Та же развёртка тессеракта является ключевым элементом сюжета рассказа Роберта А. Хайнлайна «—И он построил кривой дом—». Количество комбинаторно различных развёрток n-мерных гиперкубов можно найти, представляя эти развёртки в виде дерева с узлами, описывающими способ склеивания пар граней гиперкуба для формирования развёртки, вместе с полным соответствием на графе дополнения этого дерева, описывающем пары противоположных граней на сложенном гиперкубе. Используя это представление, количество различных развёрток гиперкубов размерностей 2, 3, 4, 5 было подсчитано как: 1, 11, 261, 9694, 502110, 33064966, 2642657228.