Введение

В статистической механике, n-векторная модель или O(n) модель — это простая система взаимодействующих спинов на кристаллической решетке. Она была разработана Х. Юджином Стэнли как обобщение модели Изинга, модели XY и модели Гейзенберга. В n-векторной модели n-компонентные единичные классические спины размещаются в вершинах d-мерной решетки. Гамильтониан n-векторной модели задается выражением:

где суммирование ведется по всем парам соседних спинов, а обозначает стандартное евклидово внутреннее произведение. Частными случаями n-векторной модели являются:

: Самоизбегающая случайная блуждание
: Модель Изинга
: Модель XY
: Модель Гейзенберга
: Игрушечная модель сектора Хиггса Стандартной модели

Общий математический формализм, используемый для описания и решения n-векторной модели и некоторых ее обобщений, разработан в статье о модели Поттса.

Предельный предел континуума

Предельный переход к континууму можно понимать как сигма-модель. Это можно легко получить, записав гамильтониан в терминах произведения, где – член, описывающий "макроскопическую намагниченность". Отбрасывая этот член как общую постоянную, добавляемую к энергии, предел достигается путем определения конечной разности Ньютона как

на соседних узлах решетки. Тогда в пределе , где – градиент в направлении. Таким образом, в пределе,

что можно распознать как кинетическую энергию поля в сигма-модели. Для спина остаются две возможности: он может быть выбран из дискретного набора спинов (модель Поттса) или рассматриваться как точка на сфере, то есть является непрерывно изменяющимся вектором единичной длины. В последнем случае это называется нелинейной сигма-моделью, поскольку группа вращений является группой изометрий сферы , и, очевидно, не является "плоской", то есть не является линейным полем.