Введение
Время, в которое случайная величина перестает демонстрировать интересующее поведение, – это музыкальное явление. В теории вероятностей, в частности при изучении стохастических процессов, время остановки (также называемое временем Маркова, моментом Маркова, дополнительным временем остановки или опциональным временем) представляет собой особый тип "случайного времени": случайная величина, значение которой интерпретируется как момент, когда данный стохастический процесс проявляет определенное интересующее поведение. Время остановки часто определяется правилом остановки – механизмом принятия решения о продолжении или прекращении процесса, основанным на текущем состоянии и прошлых событиях, который почти всегда приводит к решению остановиться в некоторый конечный момент времени. Времена остановки используются в теории принятия решений, а теорема об опциональной остановке является важным результатом в этой области. Времена остановки также часто применяются в математических доказательствах для "упорядочивания континуума времени", как выразился Чунг в своей книге (1982).
the musical phenomenon
In probability theory, in particular in the study of stochastic processes, a stopping time (also Markov time, Markov moment, optional stopping time or optional time) is a specific type of “random time”: a random variable whose value is interpreted as the time at which a given stochastic process exhibits a certain behavior of interest. A stopping time is often defined by a stopping rule, a mechanism for deciding whether to continue or stop a process on the basis of the present position and past events, and which will almost always lead to a decision to stop at some finite time. Stopping times occur in decision theory, and the optional stopping theorem is an important result in this context. Stopping times are also frequently applied in mathematical proofs to “tame the continuum of time”, as Chung put it in his book (1982).
Комментарии
Некоторые авторы явно исключают случаи, когда может быть , тогда как другие авторы допускают, чтобы принимало любое значение в замыкании .
Типы времени остановки
Времена остановки, с набором индексов времени I = [0,∞), часто подразделяются на несколько типов в зависимости от того, возможно ли предсказать момент их наступления. Время остановки τ называется предсказуемым, если оно равно пределу возрастающей последовательности времен остановки τn, удовлетворяющей условию τn < τ при τ > 0. Говорят, что последовательность τn предвещает τ, а предсказуемые времена остановки иногда называют предвещаемыми. Примерами предсказуемых времен остановки являются времена первого посещения непрерывными и адаптированными процессами. Если τ – первое время, когда непрерывный процесс X с вещественными значениями достигает значения a, то оно предвещается последовательностью τn, где τn – первое время, когда X находится на расстоянии не более 1/n от a. Доступные времена остановки – это те, которые могут быть покрыты последовательностью предсказуемых времен. То есть, время остановки τ доступно, если P(τ = τn для некоторого n) = 1, где τn – предсказуемые времена. Время остановки τ называется абсолютно недоступным, если его нельзя предвестить возрастающей последовательностью времен остановки. Эквивалентно, P(τ = σ < ∞) = 0 для любого предсказуемого времени σ. Примерами абсолютно недоступных времен остановки являются моменты скачков пуассоновских процессов. Любое время остановки τ можно единственным образом разложить на доступное и абсолютно недоступное время. То есть, существует единственное доступное время остановки σ и абсолютно недоступное время υ, такие что τ = σ при σ < ∞, τ = υ при υ < ∞, и τ = ∞ при σ = υ = ∞. Следует отметить, что в формулировке этого результата разложения времена остановки не обязаны быть почти наверняка конечными и могут быть равны ∞.
Правила прекращения клинических испытаний
В клинических испытаниях часто проводят промежуточный анализ, чтобы определить, достигли ли испытания заданных конечных точек. Однако промежуточный анализ создает риск получения ложноположительных результатов, поэтому используются границы остановки, определяющие количество и моменты проведения промежуточных анализов (также известные как расходование альфа, для обозначения скорости накопления ложноположительных результатов). На каждом из R промежуточных тестов испытание останавливается, если вероятность оказывается ниже порогового значения p, которое зависит от используемого метода. См. Последовательный анализ.