Введение
Квантовая версия классического действия
В квантовой теории поля квантовое эффективное действие представляет собой модифицированное выражение классического действия, учитывающее квантовые поправки и обеспечивающее применимость принципа наименьшего действия. Это означает, что экстремизация эффективного действия приводит к уравнениям движения для вакуумных средних значений квантовых полей. Эффективное действие также выступает в качестве функционала, генерирующего одночастично не приводимые корреляционные функции. Потенциальная компонента эффективного действия называется эффективным потенциалом, при этом ожидаемое значение истинного вакуума является минимумом этого потенциала, а не классического, что делает его важным для изучения спонтанного нарушения симметрии. Впервые оно было определено в приближении теории возмущений Джеффри Голдстоуном и Стивеном Вайнбергом в 1962 году, а непертурбативное определение было введено Брайсом Девиттом в 1963 году и независимо Джованни Джона Ласинио в 1964 году. В статье рассматривается эффективное действие для одного скалярного поля, однако аналогичные результаты существуют и для нескольких скалярных или фермионных полей.
Выпуклость
Для пространства-времени с объемом , эффективный потенциал определяется как С гамильтонианом , эффективный потенциал в точке всегда дает минимум среднего значения плотности энергии для множества состояний, удовлетворяющих условию Это определение, охватывающее несколько состояний, необходимо, поскольку различные состояния, каждое из которых соответствует определенному току источника, могут приводить к одному и тому же среднему значению. Можно также показать, что эффективный потенциал обязательно является выпуклой функцией.
Calculating the effective potential perturbatively can sometimes yield a non convex result, such as a potential that has two local minima. However, the true effective potential is still convex, becoming approximately linear in the region where the apparent effective potential fails to be convex. The contradiction occurs in calculations around unstable vacua since perturbation theory necessarily assumes that the vacuum is stable. For example, consider an apparent effective potential with two local minima whose expectation values and are the expectation values for the states and , respectively. Then any in the non convex region of can also be acquired for some using
However, the energy density of this state is meaning cannot be the correct effective potential at since it did not minimize the energy density. Rather the true effective potential is equal to or lower than this linear construction, which restores convexity.
Вычисление эффективного потенциала в рамках теории возмущений иногда может давать невыпуклый результат, например, потенциал с двумя локальными минимумами. Однако истинный эффективный потенциал все равно остается выпуклым, становясь приблизительно линейным в области, где кажущийся эффективный потенциал перестает быть выпуклым. Противоречие возникает при вычислениях вблизи нестабильных вакуумов, поскольку теория возмущений по необходимости предполагает стабильность вакуума. Например, рассмотрим кажущийся эффективный потенциал с двумя локальными минимумами, средние значения которых и соответствуют средним значениям состояний и , соответственно. Тогда любое значение в невыпуклой области кажущегося потенциала также может быть достигнуто для некоторого значения , используя
Calculating the effective potential perturbatively can sometimes yield a non convex result, such as a potential that has two local minima. However, the true effective potential is still convex, becoming approximately linear in the region where the apparent effective potential fails to be convex. The contradiction occurs in calculations around unstable vacua since perturbation theory necessarily assumes that the vacuum is stable. For example, consider an apparent effective potential with two local minima whose expectation values and are the expectation values for the states and , respectively. Then any in the non convex region of can also be acquired for some using
However, the energy density of this state is meaning cannot be the correct effective potential at since it did not minimize the energy density. Rather the true effective potential is equal to or lower than this linear construction, which restores convexity.
Однако, плотность энергии этого состояния равна , что означает, что не может быть правильным эффективным потенциалом в точке , поскольку оно не минимизирует плотность энергии. Скорее, истинный эффективный потенциал равен или меньше этой линейной аппроксимации, которая восстанавливает выпуклость.
Calculating the effective potential perturbatively can sometimes yield a non convex result, such as a potential that has two local minima. However, the true effective potential is still convex, becoming approximately linear in the region where the apparent effective potential fails to be convex. The contradiction occurs in calculations around unstable vacua since perturbation theory necessarily assumes that the vacuum is stable. For example, consider an apparent effective potential with two local minima whose expectation values and are the expectation values for the states and , respectively. Then any in the non convex region of can also be acquired for some using
However, the energy density of this state is meaning cannot be the correct effective potential at since it did not minimize the energy density. Rather the true effective potential is equal to or lower than this linear construction, which restores convexity.