Введение

В теории супералгебр, если A – коммутативная супералгебра, V – свободный правый A-супермодуль, а T – эндоморфизм из V в себя, то суперслед T, str(T), определяется следующей трассировочной диаграммой:

Более конкретно, если мы запишем T в блочной матричной форме после разложения на четные и нечетные подпространства следующим образом,

то суперслед равен

str(T) = обычный след T₀₀ – обычный след T₁₁. Покажем, что суперслед не зависит от базиса. Пусть e₁, …, eₚ – четные базисные векторы, а eₚ₊₁, …, eₚ₊q – нечетные базисные векторы. Тогда компоненты T, являющиеся элементами A, определяются как

Градуировка Tij равна сумме градуировок T, eᵢ, eⱼ по модулю 2. Переход к базису e₁', …, eₚ', e(p+1)', …, e(p+q)' задается суперматрицей

и обратной суперматрицей

где, конечно, AA⁻¹ = A⁻¹A = 1 (единичная матрица). Теперь мы можем явно проверить, что суперслед не зависит от базиса. В случае, когда T четный, имеем

В случае, когда T нечетный, имеем

Обычный след зависит от базиса, поэтому подходящим следом для использования в Z₂-градуированной постановке является суперслед. Суперслед удовлетворяет свойству

для всех T₁, T₂ из End(V). В частности, суперслед суперкоммутатора равен нулю. Фактически, суперслед можно определить более общо для любой ассоциативной супералгебры E над коммутативной супералгеброй A как линейное отображение tr: E → A, которое обращается в нуль на суперкоммутаторах. Такой суперслед не является однозначно определенным; его всегда можно хотя бы модифицировать умножением на элемент из A.

Приложения физики

В суперсимметричных квантовых теориях поля, в которых интеграл действия инвариантен относительно набора преобразований симметрии (известных как преобразования суперсимметрии), алгебры которых являются супералгебрами, суперслед имеет разнообразные применения. В этом контексте суперслед матрицы массы для теории можно представить в виде суммы по спинам следов матриц массы для частиц с различными спинами:

В аномально свободных теориях, где в суперпотенциале присутствуют только перенормируемые члены, можно показать, что указанный суперслед обращается в нуль, даже при спонтанном нарушении суперсимметрии. Вклад в эффективный потенциал, возникающий на однопетлевом уровне (иногда называемый потенциалом Коулмана — Вайнберга), также может быть выражен через суперслед. Если – матрица массы для данной теории, то однопетлевой потенциал можно записать как

где и – соответствующие матрицы массы на дереве для отдельных бозонных и фермионных степеней свободы в теории, а – масштаб отсечки.