Гиперболические координаты и геометрическое среднее в первой четверти плоскости
Hyperbolic coordinates
Гиперболические координаты: геом. среднее & гиперболический угол в 1-й четверти. Применение для сравнения логарифмов и отклонений от пропорциональности.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Геометрическое среднее и гиперболический угол как координаты в первом квадранте
Geometric mean and hyperbolic angle as coordinates in quadrant I
В математике гиперболические координаты — это метод определения точек в первом квадранте декартовой плоскости.
In mathematics, hyperbolic coordinates are a method of locating points in quadrant I of the Cartesian plane
Гиперболические координаты принимают значения в гиперболической плоскости, определяемой как:
Hyperbolic coordinates take values in the hyperbolic plane defined as:
Эти координаты в HP полезны для изучения логарифмических сравнений прямой пропорциональности в Q и измерения отклонений от прямой пропорциональности. Для в принимают
These coordinates in HP are useful for studying logarithmic comparisons of direct proportion in Q and measuring deviations from direct proportion. For in take
и
and
Параметр u — это гиперболический угол к (x, y), а v — геометрическое среднее x и y. Обратное отображение:
The parameter u is the hyperbolic angle to (x, y) and v is the geometric mean of x and y. The inverse mapping is
Функция является непрерывным отображением, но не аналитической функцией.
The function is a continuous mapping, but not an analytic function.
Применение в физической науке
Фундаментальные физические величины иногда связаны уравнениями вида k = x y. Например, V = I R (закон Ома), P = V I (электрическая мощность), P V = k T (уравнение состояния идеального газа) и f λ = v (связь между длиной волны, частотой и скоростью в волновой среде). Когда k является постоянной, остальные переменные лежат на гиперболе, которая представляет собой хороцикл в соответствующем Q-квадранте. Например, в термодинамике изотермический процесс явно следует гиперболической траектории, а работа может быть интерпретирована как изменение гиперболического угла. Аналогично, заданная масса M газа с изменяющимся объемом будет иметь переменную плотность δ = M / V, и уравнение состояния идеального газа можно записать в виде P = k T δ, так что изобарический процесс описывает гиперболу в квадранте абсолютной температуры и плотности газа. О гиперболических координатах в теории относительности см. раздел «История».
Fundamental physical variables are sometimes related by equations of the form k = x y. For instance, V = I R (Ohm's law), P = V I (electrical power), P V = k T (ideal gas law), and f λ = v (relation of wavelength, frequency, and velocity in the wave medium). When the k is constant, the other variables lie on a hyperbola, which is a horocycle in the appropriate Q quadrant. For example, in thermodynamics the isothermal process explicitly follows the hyperbolic path and work can be interpreted as a hyperbolic angle change. Similarly, a given mass M of gas with changing volume will have variable density δ = M / V, and the ideal gas law may be written P = k T δ so that an isobaric process traces a hyperbola in the quadrant of absolute temperature and gas density. For hyperbolic coordinates in the theory of relativity see the History section.
Статистические приложения
Сравнительное исследование плотности населения в квадранте начинается с выбора эталонной страны, региона или городской территории, население и площадь которой принимаются за точку (1,1). Анализ выборного представительства регионов в представительской демократии начинается с выбора стандарта для сравнения: конкретной представленной группы, численность которой и количество её представителей принимаются за (1,1) в квадранте.
Comparative study of population density in the quadrant begins with selecting a reference nation, region, or urban area whose population and area are taken as the point (1,1). Analysis of the elected representation of regions in a representative democracy begins with selection of a standard for comparison: a particular represented group, whose magnitude and slate magnitude (of representatives) stands at (1,1) in the quadrant.
История
Геометрическая средняя — это древняя концепция, но гиперболический угол был разработан в этой конфигурации Грегуаром де Сен-Винсентом. Он пытался выполнить квадратуру относительно прямоугольной гиперболы y = 1/x. Эта задача оставалась нерешённой с тех пор, как Архимед выполнил квадратуру параболы. Кривая проходит через точку (1,1), которая находится напротив начала координат в единичном квадрате. Другие точки на кривой можно рассматривать как прямоугольники, имеющие ту же площадь, что и этот квадрат. Такой прямоугольник можно получить, применив сжимающее преобразование к квадрату. Другой способ представить эти преобразования — через гиперболические секторы. Начиная с точки (1,1), гиперболический сектор единичной площади заканчивается в точке (e, 1/e), где e равно 2.71828, согласно разработке Леонарда Эйлера в «Введении в анализ бесконечно малых» (1748). Если взять точку (e, 1/e) за вершину прямоугольника единичной площади и снова применить сжатие, которое преобразовало единичный квадрат, то в общем случае n сжатий дадут A. А. де Сараса отметил аналогичное наблюдение Г. де Сен-Винсента, что по мере увеличения абсцисс в геометрической прогрессии сумма площадей под гиперболой увеличивалась в арифметической прогрессии, и это свойство соответствовало логарифму, который уже использовался для сведения умножения к сложению. Работа Эйлера сделала натуральный логарифм стандартным математическим инструментом и возвела математику в область трансцендентных функций. Гиперболические координаты построены на основе исходной картины Г. де Сен-Винсента, которая позволила выполнить квадратуру гиперболы и превзойти границы алгебраических функций. В 1875 году Иоганн фон Тюнен опубликовал теорию естественной заработной платы, в которой использовал геометрическое среднее между прожиточным минимумом и рыночной стоимостью труда, учитывая капитал работодателя. В специальной теории относительности основное внимание уделяется трёхмерной гиперповерхности в будущем пространстве-времени, в которую прибывают различные скорости после заданного собственного времени. Скотт Уолтер объясняет, что в ноябре 1907 года Герман Минковский упомянул хорошо известную трёхмерную гиперболическую геометрию, выступая перед Гёттингенским математическим обществом, но не упомянул четырёхмерную. В честь Вольфганга Риндлера, автора стандартного вводного университетского учебника по теории относительности, гиперболические координаты пространства-времени называются координатами Риндлера.
The geometric mean is an ancient concept, but hyperbolic angle was developed in this configuration by Gregoire de Saint Vincent. He was attempting to perform quadrature with respect to the rectangular hyperbola y = 1/x. That challenge was a standing open problem since Archimedes performed the quadrature of the parabola. The curve passes through (1,1) where it is opposite the origin in a unit square. The other points on the curve can be viewed as rectangles having the same area as this square. Such a rectangle may be obtained by applying a squeeze mapping to the square. Another way to view these mappings is via hyperbolic sectors. Starting from (1,1) the hyperbolic sector of unit area ends at (e, 1/e), where e is 2.71828 , according to the development of Leonhard Euler in Introduction to the Analysis of the Infinite (1748). Taking (e, 1/e) as the vertex of rectangle of unit area, and applying again the squeeze that made it from the unit square, yields Generally n squeezes yields A. A. de Sarasa noted a similar observation of G. de Saint Vincent, that as the abscissas increased in a geometric series, the sum of the areas against the hyperbola increased in arithmetic series, and this property corresponded to the logarithm already in use to reduce multiplications to additions. Euler’s work made the natural logarithm a standard mathematical tool, and elevated mathematics to the realm of transcendental functions. The hyperbolic coordinates are formed on the original picture of G. de Saint Vincent, which provided the quadrature of the hyperbola, and transcended the limits of algebraic functions. In 1875 Johann von Thünen published a theory of natural wages which used geometric mean of a subsistence wage and market value of the labor using the employer's capital. In special relativity the focus is on the 3 dimensional hypersurface in the future of spacetime where various velocities arrive after a given proper time. Scott Walter explains that in November 1907 Hermann Minkowski alluded to a well known three dimensional hyperbolic geometry while speaking to the Göttingen Mathematical Society, but not to a four dimensional one. In tribute to Wolfgang Rindler, the author of a standard introductory university level textbook on relativity, hyperbolic coordinates of spacetime are called Rindler coordinates.