Квазипроективные многообразия в алгебраической геометрии
Quasi-projective variety
Квазипроективные многообразия в алгебраической геометрии: определение, свойства и связь с аффинными пространствами. Локально замкнутые подмножества проективных пространств.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике квазипроективное многообразие в алгебраической геометрии — это локально замкнутое подмножество проективного многообразия, то есть пересечение в некотором проективном пространстве открытого множества Зариски и замкнутого множества Зариски. Аналогичное определение используется в теории схем, где квазипроективная схема — это локально замкнутая подсхема некоторого проективного пространства.
In mathematics, a quasi projective variety in algebraic geometry is a locally closed subset of a projective variety, i. e., the intersection inside some projective space of a Zariski open and a Zariski closed subset. A similar definition is used in scheme theory, where a quasi projective scheme is a locally closed subscheme of some projective space.
Связь с родственными сортами
Аффинное пространство — это открытое подмножество Зариски проективного пространства, и поскольку любое замкнутое аффинное подмножество можно представить как пересечение проективного завершения и аффинного пространства, вложенного в проективное пространство, это означает, что любое аффинное многообразие квазипроективно. Существуют локально замкнутые подмножества проективного пространства, которые не являются аффинными, поэтому квазипроективное является более общим понятием, чем аффинное. Дополнение одной точки в проективном пространстве размерности не менее 2 дает квазипроективное многообразие, которое не является аффинным. Это также пример квазипроективного многообразия, которое не является ни аффинным, ни проективным.
An affine space is a Zariski open subset of a projective space, and since any closed affine subset can be expressed as an intersection of the projective completion and the affine space embedded in the projective space, this implies that any affine variety is quasiprojective. There are locally closed subsets of projective space that are not affine, so that quasi projective is more general than affine. Taking the complement of a single point in projective space of dimension at least 2 gives a non affine quasi projective variety. This is also an example of a quasi projective variety that is neither affine nor projective.
Примеры
Поскольку квазипроективные многообразия обобщают как аффинные, так и проективные многообразия, их иногда называют просто многообразиями. Многообразие, изоморфное аффинному алгебраическому многообразию как квазипроективное многообразие, называется аффинным; аналогично для проективных многообразий. Например, дополнение точки на аффинной прямой, то есть , изоморфно нулевому множеству полинома в аффинной плоскости. Аффинное множество не является замкнутым, поскольку любой многочлен, обращающийся в нуль на дополнении, должен обращаться в нуль на аффинной прямой. В качестве другого примера, дополнение любой коники в проективном пространстве размерности 2 является аффинным. Многообразия, изоморфные открытым подмножествам аффинных многообразий, называются квазиаффинными. Квазипроективные многообразия локально аффинны в том же смысле, в каком многообразие локально евклидово: каждая точка квазипроективного многообразия имеет окрестность, которая является аффинным многообразием. Это дает базис аффинных множеств для топологии Зариски на квазипроективном многообразии.
Since quasi projective varieties generalize both affine and projective varieties, they are sometimes referred to simply as varieties. Varieties isomorphic to affine algebraic varieties as quasi projective varieties are called affine varieties; similarly for projective varieties. For example, the complement of a point in the affine line, i. e., , is isomorphic to the zero set of the polynomial in the affine plane. As an affine set is not closed since any polynomial zero on the complement must be zero on the affine line. For another example, the complement of any conic in projective space of dimension 2 is affine. Varieties isomorphic to open subsets of affine varieties are called quasi affine. Quasi projective varieties are locally affine in the same sense that a manifold is locally Euclidean: every point of a quasi projective variety has a neighborhood which is an affine variety. This yields a basis of affine sets for the Zariski topology on a quasi projective variety.