Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Кривая постоянной ширины, образованная дугами равного радиуса
Constant width curve of equal radius arcs
В геометрии многоугольник Рёло — это кривая постоянной ширины, состоящая из круговых дуг одинакового радиуса. Эти фигуры названы в честь их прототипа, треугольника Рёло, который, в свою очередь, назван в честь немецкого инженера Франца Рёло XIX века. Треугольник Рёло можно построить из равностороннего треугольника, соединив каждую пару вершин круговой дугой с центром в третьей вершине, а многоугольники Рёло можно получить аналогичным построением из любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон или из определенных неправильных многоугольников. Любую кривую постоянной ширины можно точно аппроксимировать многоугольниками Рёло. Они находят применение в форме монет.
In geometry, a Reuleaux polygon is a curve of constant width made up of circular arcs of constant radius. These shapes are named after their prototypical example, the Reuleaux triangle, which in turn, is named after 19th century German engineer Franz Reuleaux. The Reuleaux triangle can be constructed from an equilateral triangle by connecting each two vertices by a circular arc centered on the third vertex, and Reuleaux polygons can be formed by a similar construction from any regular polygon with an odd number of sides, or from certain irregular polygons. Every curve of constant width can be accurately approximated by Reuleaux polygons. They have been applied in coinage shapes.
Строительство
Если P — выпуклый многоугольник с нечетным числом сторон, в котором каждая вершина равноудалена от двух противоположных вершин и ближе ко всем остальным вершинам, то замена каждой стороны P на дугу окружности, центром которой является противоположная вершина, приводит к многоугольнику Рёло. В качестве частного случая, эта конструкция возможна для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. Любой многоугольник Рёло должен иметь нечетное число сторон, являющихся дугами окружностей, и может быть построен таким образом из многоугольника, являющегося выпуклой оболочкой конечных точек этих дуг. Однако, кривые постоянной ширины могут быть также образованы четным числом дуг с различными радиусами.
If is a convex polygon with an odd number of sides, in which each vertex is equidistant to the two opposite vertices and closer to all other vertices, then replacing each side of by an arc centered at its opposite vertex produces a Reuleaux polygon. As a special case, this construction is possible for every regular polygon with an odd number of sides. Every Reuleaux polygon must have an odd number of circular arc sides, and can be constructed in this way from a polygon, the convex hull of its arc endpoints. However, it is possible for other curves of constant width to be made of an even number of arcs with varying radii.
Свойства
Полигоны Реоля, построенные на основе правильных многоугольников, являются единственными кривыми постоянной ширины, границы которых образованы конечным числом круговых дуг равной длины. Любая кривая постоянной ширины может быть сколь угодно точно приближена (возможно, нерегулярным) многоугольником Реоля той же ширины. Правильный многоугольник Реоля имеет стороны одинаковой длины. В более общем случае, если стороны многоугольника Реоля можно разделить на дуги равной длины, то выпуклая оболочка конечных точек этих дуг является многоугольником Райнхардта. Эти многоугольники оптимальны по нескольким параметрам: они имеют максимально возможный периметр при заданном диаметре, максимально возможную ширину при заданном диаметре и максимально возможную ширину при заданном периметре.
The Reuleaux polygons based on regular polygons are the only curves of constant width whose boundaries are formed by finitely many circular arcs of equal length. Every curve of constant width can be approximated arbitrarily closely by a (possibly irregular) Reuleaux polygon of the same width. A regular Reuleaux polygon has sides of equal length. More generally, when a Reuleaux polygon has sides that can be split into arcs of equal length, the convex hull of the arc endpoints is a Reinhardt polygon. These polygons are optimal in multiple ways: they have the largest possible perimeter for their diameter, the largest possible width for their diameter, and the largest possible width for their perimeter.
Приложения
Постоянная ширина этих фигур позволяет использовать их в качестве монет, пригодных для использования в автоматах с монетоприемником. Например, в Соединенном Королевстве монеты номиналом 20 пенсов и 50 пенсов были изготовлены в форме правильного семиугольника Рео. На канадской монете в один доллар (loonie) используется другой правильный многоугольник Рео с 11 сторонами. Однако некоторые монеты с закругленными многоугольными сторонами, такие как 12-гранная британская монета 2017 года, не имеют постоянной ширины и не являются многоугольниками Рео. Хотя китайский изобретатель Гуан Байхуа создал велосипед с колесами в форме многоугольника Рео, это изобретение не получило распространения.
The constant width of these shapes allows their use as coins that can be used in coin operated machines. For instance, the United Kingdom has made 20 pence and 50 pence coins in the shape of a regular Reuleaux heptagon. The Canadian loonie dollar coin uses another regular Reuleaux polygon with 11 sides. However, some coins with rounded polygon sides, such as the 12 sided 2017 British pound coin, do not have constant width and are not Reuleaux polygons. Although Chinese inventor Guan Baihua has made a bicycle with Reuleaux polygon wheels, the invention has not caught on.