Введение

Математическое пространство
В математике, 4-многообразие — это четырехмерное топологическое многообразие. Гладкое 4-многообразие — это 4-многообразие с гладкой структурой. В четвертом измерении, в резком контрасте с более низкими измерениями, топологические и гладкие многообразия существенно различаются. Существуют некоторые топологические 4-многообразия, которые не допускают гладкой структуры, и даже если гладкая структура существует, она не обязана быть единственной (то есть существуют гладкие 4-многообразия, которые гомеоморфны, но не диффеоморфны). 4-многообразия важны в физике, поскольку в общей теории относительности пространство-время моделируется как псевдориманово 4-многообразие.

Особые явления в 4 измерениях

Существует несколько фундаментальных теорем о многообразиях, которые могут быть доказаны низкоразмерными методами в размерностях не более 3 и совершенно иными высокоразмерными методами в размерностях не менее 5, но которые неверны в размерности 4. Вот некоторые примеры:

В размерностях, отличных от 4, инвариант Кирби — Сибенманна является препятствием для существования PL-структуры; другими словами, компактное топологическое многообразие имеет PL-структуру тогда и только тогда, когда его инвариант Кирби — Сибенманна в H4(M, Z/2Z) равен нулю. В размерности 3 и ниже каждое топологическое многообразие допускает по существу единственную PL-структуру. В размерности 4 существует множество примеров с нулевым инвариантом Кирби — Сибенманна, но без PL-структуры. В любой размерности, отличной от 4, компактное топологическое многообразие имеет лишь конечное число по существу различных PL- или гладких структур. В размерности 4 компактные многообразия могут иметь счетно бесконечное число недиффеоморфных гладких структур. Четыре — единственная размерность n, для которой Rn может иметь экзотическую гладкую структуру. R4 имеет несчетно много экзотических гладких структур; см. экзотический R4. Решение гладкой гипотезы Пуанкаре известно во всех размерностях, кроме 4 (обычно оно неверно в размерностях не менее 7; см. экзотическая сфера). Гипотеза Пуанкаре для PL-многообразий доказана для всех размерностей, кроме 4, но неизвестно, верна ли она в 4 измерениях (она эквивалентна гладкой гипотезе Пуанкаре в 4 измерениях). Теорема о гладком h-кобордизме справедлива для кобордизмов, при условии, что ни сам кобордизм, ни его граница не имеют размерность 4. Она может быть невыполнена, если граница кобордизма имеет размерность 4 (как показано Дональдсоном). Если кобордизм имеет размерность 4, то неизвестно, выполняется ли теорема о гладком h-кобордизме. Топологическое многообразие размерности, отличной от 4, имеет разложение на ручки. Многообразия размерности 4 имеют разложение на ручки тогда и только тогда, когда они допускают гладкую структуру. Существуют компактные 4-мерные топологические многообразия, которые не гомеоморфны никакому симплициальному комплексу. В размерности не менее 5 существование топологических многообразий, не гомеоморфных симплициальному комплексу, было открытой проблемой. Чиприан Манолеску показал, что существуют многообразия в каждой размерности, большей или равной 5, которые не гомеоморфны симплициальному комплексу.

Провал трюка Уитни в 4 измерении

По словам Фрэнка Куинна, "Двумерные подмногообразия размерности n в многообразии размерности 2n обычно пересекаются сами с собой и друг с другом в изолированных точках. "Приём Уитни" использует изотопию сквозь встроенный 2-диск для упрощения этих пересечений. Грубо говоря, это сводит изучение n-мерных вложений к вложениям 2-дисков. Но это не является редукцией в случае размерности 4: сами 2-диски являются среднеразмерными, поэтому попытки их вложить сталкиваются с теми же проблемами, которые они призваны решить. Это явление выделяет размерность 4 среди прочих."