Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Неизменность при математическом отражении
Invariance under a mathematical reflection
В математике отражательная симметрия, линейная симметрия, зеркальная симметрия или симметрия зеркального отображения — это симметрия относительно отражения. То есть фигура, которая не изменяется при отражении, обладает отражательной симметрией. В двумерном пространстве существует линия/ось симметрии, в трехмерном — плоскость симметрии. Объект или фигура, которые неразличимы со своим отраженным изображением, называются зеркально симметричными. В итоге, линия симметрии делит фигуру пополам, и эти половины должны быть идентичны.
In mathematics, reflection symmetry, line symmetry, mirror symmetry, or mirror image symmetry is symmetry with respect to a reflection. That is, a figure which does not change upon undergoing a reflection has reflectional symmetry. In 2D there is a line/axis of symmetry, in 3D a plane of symmetry. An object or figure which is indistinguishable from its transformed image is called mirror symmetric. In conclusion, a line of symmetry splits the shape in half and those halves should be identical.
Симметрическая функция
Формально говоря, математический объект симметричен относительно заданной операции, такой как отражение, вращение или сдвиг, если при применении к объекту эта операция сохраняет некоторое свойство объекта. Множество операций, сохраняющих данное свойство объекта, образует группу. Два объекта симметричны друг другу относительно заданной группы операций, если один из них может быть получен из другого посредством одной или нескольких операций из этой группы (и наоборот). Ось симметрии двумерной фигуры – это прямая, такая что для каждого перпендикуляра, проведенного к этой оси, если перпендикуляр пересекает фигуру на расстоянии 'd' от оси, то существует и другое пересечение фигуры с этим перпендикуляром на том же расстоянии 'd' от оси, но в противоположном направлении. Другими словами, если сложить фигуру пополам вдоль этой оси, то обе половины совпадут, являясь зеркальным отражением друг друга. Это справедливо, например, для равнобедренных трапеций. Все многоугольники с четным числом сторон имеют две простые формы отражения: одна с осями отражения, проходящими через вершины, а другая – через середины сторон. Для произвольной фигуры осевая форма показывает, насколько она близка к двусторонней симметрии. Она равна 1 для фигур с отражательной симметрией и находится в диапазоне от 2/3 до 1 для любой выпуклой фигуры.
In formal terms, a mathematical object is symmetric with respect to a given operation such as reflection, rotation or translation, if, when applied to the object, this operation preserves some property of the object. The set of operations that preserve a given property of the object form a group. Two objects are symmetric to each other with respect to a given group of operations if one is obtained from the other by some of the operations (and vice versa). The symmetric function of a two dimensional figure is a line such that, for each perpendicular constructed, if the perpendicular intersects the figure at a distance 'd' from the axis along the perpendicular, then there exists another intersection of the shape and the perpendicular, at the same distance 'd' from the axis, in the opposite direction along the perpendicular. Another way to think about the symmetric function is that if the shape were to be folded in half over the axis, the two halves would be identical: the two halves are each other's mirror images. and isosceles trapezoids. All even sided polygons have two simple reflective forms, one with lines of reflections through vertices, and one through edges. For an arbitrary shape, the axiality of the shape measures how close it is to being bilaterally symmetric. It equals 1 for shapes with reflection symmetry, and between 2/3 and 1 for any convex shape.
Усовершенствованные типы отражения симметрии
Для более общих типов отражений существуют соответственно более общие типы симметрии отражения. Например:
For more general types of reflection there are correspondingly more general types of reflection symmetry. For example:
относительно неизометрического аффинного инволюции (косое отражение относительно прямой, плоскости и т.д.),
относительно инверсии относительно окружности.
with respect to a non isometric affine involution (an oblique reflection in a line, plane, etc.) with respect to circle inversion.
В природе
У животных с двусторонней симметрией имеется отражательная симметрия относительно сагиттальной плоскости, которая вертикально делит тело на левую и правую половины, при этом с каждой стороны располагается по одному сенсорному органу и паре конечностей. Большинство животных обладают двусторонней симметрией, вероятно, потому что она способствует движению вперед и обтекаемости.
Animals that are bilaterally symmetric have reflection symmetry in the sagittal plane, which divides the body vertically into left and right halves, with one of each sense organ and limb pair on either side. Most animals are bilaterally symmetric, likely because this supports forward movement and streamlining.
В архитектуре
Зеркальная симметрия часто используется в архитектуре, как, например, в фасаде церкви Санта-Мария-Новелла во Флоренции. Она также встречается в дизайне древних сооружений, таких как Стоунхендж. Симметрия была ключевым элементом в некоторых архитектурных стилях, например, в палладианстве.
Mirror symmetry is often used in architecture, as in the facade of Santa Maria Novella, Florence. It is also found in the design of ancient structures such as Stonehenge. Symmetry was a core element in some styles of architecture, such as Palladianism.