Введение

Выбор ориентира для различения объекта и его зеркального отражения. Ориентация реального векторного пространства, или просто ориентация векторного пространства, — это произвольный выбор того, какие упорядоченные базисы считаются "положительно" ориентированными, а какие — "отрицательно". В трехмерном евклидовом пространстве базисы с правой тройкой обычно объявляются положительно ориентированными, но выбор произволен, поскольку им также можно присвоить отрицательную ориентацию. Векторное пространство с выбранной ориентацией называется ориентированным векторным пространством, а без выбранной ориентации — неориентированным. В математике ориентируемость — более широкое понятие, которое в двух измерениях позволяет определить, обходит цикл по часовой стрелке или против часовой стрелки, а в трех измерениях — является ли фигура леворукой или праворукой. В линейной алгебре над действительными числами понятие ориентации имеет смысл в любом конечном измерении и представляет собой своего рода асимметрию, которая делает невозможным воспроизведение отражения простым сдвигом. Таким образом, в трех измерениях нельзя превратить левую руку человеческой фигуры в правую только с помощью сдвига, но это возможно, отразив фигуру в зеркале. В результате в трехмерном евклидовом пространстве две возможные ориентации базиса называются правой и левой (или право- и лево-хиральными).

Нулевой размер

Понятие ориентации вырождается в нулевом измерении. Нулевое векторное пространство имеет только одну точку — нулевой вектор. Следовательно, единственным базисом нулевого векторного пространства является пустое множество. Поэтому существует единственный класс эквивалентности упорядоченных базисов, а именно класс, единственным элементом которого является пустое множество. Это означает, что ориентация нулевого пространства является функцией.

Таким образом, можно ориентировать точку двумя различными способами: положительным и отрицательным. Поскольку существует только один упорядоченный базис, нулевое векторное пространство эквивалентно нулевому векторному пространству с упорядоченным базисом. Выбор или следовательно определяет ориентацию любого базиса любого нулевого векторного пространства. Если всем нулевым векторным пространствам присвоить эту ориентацию, то, поскольку все изоморфизмы между нулевыми векторными пространствами сохраняют упорядоченный базис, они также сохраняют ориентацию. Это отличается от случая с векторными пространствами более высокой размерности, где невозможно выбрать ориентацию так, чтобы она сохранялась при всех изоморфизмах. Однако бывают ситуации, когда желательно задавать разные ориентации разным точкам. Например, рассмотрим фундаментальную теорему математического анализа как частный случай теоремы Стокса. Закрытый интервал [a, b] является одномерным многообразием с границей, а его границей является множество {a, b}. Чтобы получить корректную формулировку фундаментальной теоремы математического анализа, точку b следует ориентировать положительно, а точку a — отрицательно.

На линии

Одномерный случай рассматривает линию, которую можно пройти в одном из двух направлений. У линии, как и у круга, существует две ориентации. В случае отрезка линии (связного подмножества линии) две возможные ориентации приводят к ориентированным отрезкам линии. На ориентируемой поверхности выбранная ориентация иногда указывается ориентацией прямой, перпендикулярной к этой поверхности.

Многолинейная алгебра

Для любого n-мерного вещественного векторного пространства V мы можем сформировать k-ю внешнюю степень V, обозначаемую ΛkV. Это вещественное векторное пространство размерности. Векторное пространство ΛnV (называемое старшей внешней степенью) поэтому имеет размерность 1. То есть, ΛnV – это просто вещественная прямая. Нет априорного выбора, какое направление на этой прямой является положительным. Ориентация – это как раз такой выбор. Любая ненулевая линейная форма ω на ΛnV определяет ориентацию V, объявляя, что x находится в положительном направлении, когда ω(x) > 0. Чтобы связать это с представлением через базис, мы говорим, что положительно ориентированные базисы – это те, на которых ω принимает положительное значение (поскольку ω является n-формой, мы можем вычислить ее на упорядоченном наборе из n векторов, получая элемент R). Форма ω называется формой ориентации. Если {ei} – привилегированный базис для V, а {ei∗} – двойственный базис, то форма ориентации, задающая стандартную ориентацию, равна e1∗ ∧ e2∗ ∧ … ∧ en∗. Связь этого с точкой зрения детерминанта заключается в следующем: детерминант эндоморфизма можно интерпретировать как индуцированное действие на старшую внешнюю степень.

Геометрическая алгебра

Различные объекты геометрической алгебры наделены тремя атрибутами или характеристиками: направлением, ориентацией и величиной. Например, вектор имеет направление, заданное прямой, параллельной ему, ориентацию, заданную его смыслом (часто обозначаемым наконечником стрелки), и величину, заданную его длиной. Аналогично, бивектор в трех измерениях имеет направление, заданное семейством плоскостей, связанных с ним (возможно, определяемое нормалью, общей для этих плоскостей), ориентацию (иногда обозначаемую изогнутой стрелкой в плоскости), указывающую на выбор направления обхода его границы (его циркуляции), и величину, заданную площадью параллелограмма, определяемого его двумя векторами.

Ориентация на коллекторах

Каждая точка p на n-мерном дифференцируемом многообразии имеет тангентное пространство TpM, которое является n-мерным вещественным векторным пространством. Каждому из этих векторных пространств может быть присвоена ориентация. Некоторые ориентации "непрерывно меняются" от точки к точке. Однако, из-за определенных топологических ограничений, это не всегда возможно. Многообразие, допускающее плавный выбор ориентаций для своих тангентных пространств, называется ориентируемым.